关于农业投入产出的线性回归模型
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[摘 要]本文采用柯布——道格拉斯生产函数对农业的投入产出即粮食产量问题进行了线性分析，运用普通最小二乘法对粮食产量及其影响因素进行了显著性分析，最终得出结论：粮食播种面积、有效灌溉面积和农用排灌柴油机使用数量对中国粮食产量有影响，其中粮食播种面积是影响粮食产量的主要因素。为提高粮食产量，可以适当地扩大粮食耕种面积，同时增加有效灌溉面积和农用排灌柴油机的使用量。
[关键词]粮食产量;影响因素;线性回归
[中图分类号]F326.11 [文献标识码]A
1 问题背景
粮食是国家的根本，是经济社会发展的基础，粮食安全关系到一个国家的命脉。2003-2015 年，我国粮食实现十二连增，由2003年的43069.5万吨增长到2015年的62143.9万吨，增长率达到 44.29%，这体现出我国粮食产量的整体提升。然而，随着我国城镇化和工业化的推进，一方面，饲料粮和工业粮需求明显增加，粮食供给压力不断加大;另一方面粮食生产受到耕地、水资源等一系列约束日益显著，粮食生产要素及政策环境等的变化也对我国粮食安全形成潜在风险。为稳定粮食产量，许多学者对影响投入产出即粮食产量的影响因素进行了研究，首先是农业资本中的流动资本例如化肥的使用量、有效灌溉量、农藥用量、塑料薄膜的使用量等会对粮食的产量有一定的影响，其次是农业资本中的固定资本例如机器设备（拖拉机、播种机等）、土地……最后还有人力资本的影响。所谓的人力资本即体现在人身上的资本，即对生产者进行普通教育、职业培训等支出和其在接受教育的机会成本等价值在生产者身上的凝结，它表现在蕴含于人身中的各种生产知识、劳动与管理技能和健康素质的存量总和，这一部分资本也会在一定的基础上增加粮食的产量。
2 问题分析
本题给出了中国31个省、市、自治区粮食生产的相关数据，并列举出影响产量一部分因素，要求根据这些数据建立2013年中国粮食生产函数模型。
用于分析投入产出关系的生产模型主要有四种： 柯布—道格拉斯生产函数（ C-D生产函数） 、超越生产函数、超越对数生产函数和斯皮尔曼生产函数。本文拟用柯布——道格拉斯生产函数。其基本形式如下：
式中 Y 为产出，K 代表投入资本，L 表示投入劳动，A 为生产效率系数，α、β 分别表示资本与劳动的产出弹性。
3 模型的建立
将柯布——道格拉斯生产函数运用于粮食生产模型中，为了简便运算，我们将其转化为线性关系：In（Y）=a+b1In（X1）+b2In（X2）+b3In（X3）+b4In（X4）+b5In（X5）+b6In（X6）+u其中Y代表了粮食产量，a表示常数项，b1～b6代表各变量之前的系数，u表示扰动项，X1代表粮食播种面积，X2代表有效灌溉面积，X3代表化肥施用量，X4代表大型拖拉机的数量，X5代表小型拖拉机的数量，X6代表农用排灌柴油机的数量。
4 模型求解
首先，我们需要对Y与各变量之间的关系是否显著进行判断，我们采用普通最小二乘法对给出的数据进行处理可得：
R2为0.98接近于1，F值262.32远远大于F0.05（6，24）故认为粮食产量与上述解释变量间总体线性关系显著。但由于上述结果中，X3、X4、X5、X6前的系数没有通过显著性水平为5%的t检验，并且X5之前系数为负，说明随着小型拖拉机使用数量的增多，粮食产量呈下降趋势，这与实际不符，其参数经济意义不合理，故判定解释变量间存在多重共线性。
为求出更合理的生产模型，现采用逐步回归，将解释变量分别导入初始回归模型，运用普通最小二乘法对结果进行分析可得：
只引入X1，我们可以发现，R2值约为0.98较大，且通过显著性水平为5%的t检验，系数也较大，说明粮食生产受粮食播种面积的影响较大，与经验相符合。
再引入X2，我们可以发现，模型的可调整R2提高，且通过了显著性水平为5%的t检验，参数符号合理。
再引入X3，我们依旧可以发现，模型的可调整性R2有所下降，虽然参数符号合理，但未通过显著性水平为10%的t检验，所以去掉X3。
去掉X3引入X4，我们发现模型的可调整性R2比起引入X1、X2有所下降，且未通过显著性水平为10%的t检验，参数为负说明随着大型拖拉机使用数量的增多，粮食产量呈下降趋势，与实际不符，参数经济意义不合理，故去掉X4.去掉X4引入X5，我们发现模型的可调整R2提高，且未通过显著性水平为10%的t检验，参数为负说明随着小型拖拉机使用数量的增多，粮食产量呈下降趋势，与实际不符，参数经济意义不合理，故去掉X5。
去掉X5引入X6，模型的可调整性R2比起引入X1、X2有所提高，且通过显著性水平为10%的t检验，参数符号与经济意义相符合。
由此可得，最终的粮食生产函数应以Y=f（X1，X2，X6）为最优，即粮食产量与粮食播种面积、有效灌溉面积、农用排灌柴油机之间存在线性关系，拟合结果如下：
Ln（Y）=-0.734+0.761ln（X1）+0.231ln（X2）+0.05ln（X6）
各变量前参数的经济意义如下：
-0.734表示在没有其他任何因素的投入下，紧靠大自然的能力，所能得到的粮食产量。
0.761表示粮食播种面积每增加一千公顷，粮食产量增加0.761万吨。
0.231表示有效灌溉面积每增加一千公顷，粮食产量增加0.231万吨。
0.05表示农用排灌柴油机每增加一千台，粮食产量增加0.05万吨。
5 以山东省为例说明
根据山东省统计局年度数据，可以得到：山东省2015年粮食播种面积为7492100公顷，粮食产量为47127000吨;山东省2015年有效灌溉面积为5126780公顷;山东省2015年农用排灌柴油机为523000套。 根据得到的数据，我们发现山东省与粮食产量大省黑龙江之间存在一定的差距，粮食产量相差1500万吨左右，黑龙江省的粮食播种面积约为山东省的1.5倍，有效灌溉面积大致相当，山东省的农用排灌柴油机格外强大，约为黑龙江省的10倍。根据得出的农业生产模型，我们可以得知，决定粮食产量的关键因素为粮食播种面积，黑龙江省占据很大的优势，其次为有效灌溉面积占比较多，但是农用排灌柴油机占比极小，山东省占据很小优势，由此黑龙江省的粮食产量高于山东省。
为改变这种现状，首先，山东省可以增加耕地面积，但这种方式的可行度较小，不同于黑龙江省耕地总量2.39亿亩，居全國第一位;人均耕地面积0.31公顷，为全国人均耕地面积的3.1倍，山东省的耕地面积有限，不可能用填海造地的方式来增加耕地面积;其次，在耕地面积一定的情况下，可以适当地减少农用排灌柴油机的使用量，节约资金。
6 针对山东省的政策建议
（1）在影响粮食产量的因素中，粮食种植面积的影响作用最大。因此，稳定粮食种植面积是保证粮食安全的关键因素。一方面政府要做好城乡土地利用规划，严格控制各类非农建设用地，在工业化、城镇化建设过程中，尽量少占、少用耕地。同时，应调整、优化耕地利用结构，进一步提高土地集约利用水平。另一方面要保护地力，持续改造中低产田，保证土地的可持续使用，并且要以提高粮食综合生产能力为目标，继续重视和加强农田水利设施建设;在国家实施的粮食高产创建项目中，加强农业机械与农艺结合，进一步强化标准化农业节水节肥高产示范区规范化农田建设，带动中低产田实现高产高效，保证粮食旱涝保收，保障国家粮食安全。
（2）增加有效灌溉面积。由上面的分析我们知道，有效灌溉面积对粮食产量有着非常重要的影响，我省临海，水资源丰富，自然降雨量较好，更应该有效地利用水资源，增加灌溉面积。
（3）加大农用排灌柴油机等农业机械总动力的研制与更新。通过分析发现，只有在 1978—1987 年这一时期，农业机械总动力对粮食产量的贡献达到显著性水平，其他时期农业机械总动力的增加对粮食增产的作用并不是很显著。究其原因可能是在农业机械研发过程中，并没有与农业生产做到完全对接; 另外，使用农业机械的主要目的是替代人力，所以对于粮食产量增加的贡献度并不十分明显。因此，要进一步增加农业机械方面的研发投入，加快研制和推广符合农艺要求且可以提高劳动生产率和土地产出率的新型农业机械。
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