探析数学概念在几何最值问题中的有效应用
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作者:苏海青
【摘要】 本文将立足几何最值问题，探析数学概念在几何最值问题中的有效应用，以期为有识之士提供一些参考，把握几何学的发展脉络，构建几何最值问题的逻辑方法体系。
【关键词】 数学概念 几何学 最值问题
引言：在数学学习过程中，要坚持以数学概念作为指引。认识数学概念是把握数学公式、理解数学规律的基础，也是数学钻研的前提。只有充分认识数学概念，才能在无涯学海中乘风破浪，获得研究实绩。因此在学习过程中，应该熟知数学概念、领悟数学概念、应用数学概念。
一、几何概念的应用
1.1几何概念的发展
在数学思维中，最先作为语言符号的是数量与图形。从某个角度来看，几何图形是数学学科最基础的研究对象，数学学科的发展以几何图形研究作为基础，数学思维方法的形成以几何图形研究作为前提条件。随着时代的不断更迭，数学思维由算数层面转向了代数层面，以几何图形为主要内容的空间思维形式得到发展[1]。
在数学发展之路上，数量与空间存在紧密联系，人类在最先认识社会时，总是将着眼点放在数量和空间上，探索数量与空间的关系。我国古代先贤提出了空间观念，如长度、面积等，使数量和空间真正结合到一起。《九章算术》是我国最具价值的数学古书之一，其中有大量例证，体现了数量思维与空间思维的整合。以勾股定理为例，我国古代数学家赵爽依靠数量与空间这两个概念，论证了勾股定理，并绘制了勾股定理图示，对其进行了注释。对世界数学学科的发展进行分析，发现各国数学体系的构建基本上都是以几何图形作为发端。几何图形是数学思维的起点，几何图形对世界数学作出了不可磨灭的贡献。欧几里得最早对空间观念进行了发展，将几何学作为一门独立学科，使数量和空间相对独立。在古希腊时期，代数学和几何学还没有正式分家，严密的逻辑体系尚未形成。直到公元三世纪，几何学研究越来越多，且研究者数不胜数，使代数学处于从属位置。古希腊学者偏好对直观图形进行观察，对几何学知识进行推导，对图形关系进行探究，并从中归纳几何学概念、推导几何学定理等等。空间思维方法逐渐成为一个时代的先导，助推了科学学科的发展。与国外相比，我国虽然没有形成以推理论证为依托的思维模式，但是几何思维已经初具雏形。《九章算术》“方田”章给出了若干空间概念，如正方形、三角形等，数学家在其中提出了不同图形面积的计算方法，是对世界数学研究的重大突破。除了对图形面积进行计算外，《九章算术》还提出了立体图形的体积计算方法，使数学学科发展真正迈向了新的发展台阶[2]。
空间思维是解析几何问题的重中之重，在今天的数学学习中，需要始终培养空间思维，以空间思维观察数学问题，勘透数学问题的本质，把握数学问题的规律。古人尚能理解图形的几何直观意义，今人更该努力。从某个角度来看，空间思维方式是数学学科的最重要思维方式之一，而这种思维方式的形成需要依赖长期学习、刻苦钻研。空间思维模式从古希腊时期发展至今，已经具备了严密的逻辑体系。在欧几里得获得成果之后，几何学领域提出的问题越来越多，难度越来越大。如何超越前人的研究成果，使几何学向前发展，成为数学家们关注的重要问题。几何问题论证需要较高的技巧，且逻辑推理非常复杂，单一方法不足以解决问题。在十六世纪数量化思维得到发展，数学符号初步形成体系，方程问题得到了解决。此时数量化思维更盛，空间思维受到冷落。最先认识到数量与空间关系的十六世纪学者是法国韦达，其将代数方法和空间几何方法结合在一起，并提出应用代数方程表示曲线的构想，为数量化思维、空间思维的相融发展奠定了坚实基础。后来的学者笛卡尔站在韦达的肩膀上开展研究，借鉴了其先进的数学思想，依靠坐标系来表现平面上的数字，并将应用代数方程表示曲线的构想转化为现实。费马对这一课题较感兴趣，也开展了数学论证，并最终提出数形结合的思维方法。解析几何和代数结合相融，使几何学朝着代数化的方向发展。代数和几何在此時真正到达了统一水平面，坐标系整合了数量思维与空间思维，更新了数学学科的思维模式，打破了空间结构与形式的限制。
1.2几何概念的重要性
在解决几何最值问题时把握几何概念，具有重要意义。第一，把握几何概念，可以在解析几何最值问题时追溯根源。古希腊欧几里得学者提出的数学概念类属于静态几何学的范畴，随着数学研究的不断深入，静态几何学朝着动态几何学的方向发展，图形运动转变为曲线，而曲线变成了点的轨迹。在学习过程中追溯历史，能够形成动态思维，真正勘透几何图形的变化。第二，把握几何概念，可以在解析几何最值问题时融合数学方法。几何概念的发展体现了数量思维与空间思维的整合，人们对图形的主观认识发生变化，经验性的知识不再准确，人们需要开展逻辑推理，使个人思维朝着抽象层面过渡。现实空间有三维特征，但是抽象空间却被无限延长无限放大。在抽象世界学者可以对数学知识进行大胆创新，拓展传统的数学研究领域。第三，把握几何概念，可以在解析几何最值问题时获得研究思路。今人应该将数学研究作为己任，在数学领域上开疆扩土。理解几何概念，能够赋予图形新的内容，对代数结果有更加直观的思维追求。数学研究需要创新性思维，空间思维与代数思维的整合能够助力学术发展，摘取研究果实[3]。
空间思维与代数思维相融，使数学研究领域有了新的突破，几何代数方法逐渐成为数学问题解析的最常见方法，数量关系经常表达抽象模型概念，代数与几何紧密相连，使人们从不同角度把握了数学知识。几何最值问题实际上也是由几何学基础知识衍生而来的，想要真正解决这一类问题，就必须把握空间思维的发展脉络。空间思维发展证明，欧几里得式的空间并不固定，空间可以是弯曲的，甚至可以是折叠的，空间不仅存在于现实当中，也存在于想象当中。解析几何出现之后，代数几何思想融合，静态几何朝着动态方向发展，变量这一概念引入了数学，微积分相应产生。变量实际上也是最值问题的铺垫，在依靠数学知识解答几何最值问题时，必须把握变量这一概念，具备数形结合的思维方法。空间思维扩展了几何领域，也发展了代数领域。线性空间等概念形成，助力了几何学的飞速发展。曲线与曲面研究相继开展，数学家们在科学探究之路上马不停蹄，最终使近代代数几何学体系构建起来。 二、最值概念的应用
在解析几何最值问题时，需要把握最值这一概念。在理解最值概念时，需要将函数最值作为基础，因为在求几何最值的过程中，经常需要将其面积表达为函数，通过函数性质确定取值范围，求出最后的结果。最值包括两个：第一个是最大值，第二个是最小值。函数最大值和最小值都存在于定义域中，最大值是定义域中的最大数，最小值是定义域中的最小数。函数最大值和最小值都有图形意义，分别为纵坐标的最高点和最低点。解决几何最值问题，首先要判断函数类型，根据函数概念开展具体的解析工作。以一次函数为例，一次函数又被称为线性函数，在坐标中即是直线，当变量确定，另一个变量也可以表达出来。一次函数分为正比例函数和普通一次函数，在自变量有范围的情况下，最大值和最小值都可以顺利求出。当然，当表达式中的常数有正负之分，需要对最大值最小值进行区分。以二次函数为例，二次函数又被称为二次项函数，其中有一次项系数、常数项等等，自变量的最高次数为二。未知数是一个数，其在范围之内取值。微分方程等是未知函数，存在未知数的概念[4]。二次函数的最值同样与常数有关，与一次函数最值的解析路径存在相似之处。以反比例函数为例，反比例函数存在两个变量，两个变量分别是自变量和因变量，自变量的取值不能等于零。反比例函数的最值在求解过程中仍然和一次函数、二次函数存在相通之处，需要考察常数的取值范围。与二次函数相比，反比例函数的最值并不固定。与一次函数相比，反比例函数的最值求解同样需要确定自变量范围。
在解析几何最值问题时把握最值概念，具有重要意义。第一，把握最值概念，能够开拓问题解析的思路。在高等数学学习阶段，需要不断拓展学习思路，开拓理论研究领域。最值概念是解析几何最值问题的依据，在充分理解概念后可以对问题进行创新型阐释，从基础方法出发去探索新的解析路径，从而把握数学知识的发展规律，形成概念化的方法体系。第二，把握最值概念，能够优化数学解析思维。几何学经过发展，与代数学的联系更加紧密，最值问题实际上是对几何学知识、代数学知识的融合，对研究者的空间思维、代数思维提出要求。掌握最值概念的过程，实际上就是思维训练的过程，有利于简化数学学习，在几何空间代数研究中有所突破。
三、几何最值概念的应用
在把握几何概念、最值概念之后，可以正视几何最值概念。几何最值问题指的是将几何图形转化成为函数形式，依靠代数建构模型，整合空间思维和代数思维，并依靠函数性质进行求解。函数有自变量和因变量，因此有取值范围，范围内的最大值和最小值，就是几何最值。一般来说，几何最值求解方式包括以下几种：第一，可以采用线段最小方法，對图形进行平移、对称旋转等等，使点在线段不同侧。第二，可以采用线段最长方法，对图形进行平移、对称旋转等等，使点在线段相同侧。第三，可以采用转化、构造新图形方法，使目标线段与定长线段形成新图形（一般为三角形）。学术研究不断深入，几何最值概念也在不断发展。在新的时代背景下，应该学习学术研究的最新知识，对几何最值概念进行深化，对几何最值求解方法进行创新。
结论：综上所述，我国的教育事业不断发展，数学研究工作更进一步。几何最值问题是一个重要问题，数学概念在问题解析中占据重要位置。在理论研究过程中，应该培养空间思维、代数思维，把握几何学、最值和几何最值的概念。
参 考 文 献
[1]朱建良.问题驱动 模型识别 揭示本质——基于求解初中几何最值问题的探究与思考[J].中学数学研究，2019（06）：7-10.
[2]夏培培.以问题为“驱动”发展学生数学高阶思维能力——以“几何最值问题”的专题探究为例[J].中学数学，2019（06）：44-46.
[3]叶春泉.析疑难之诸因，探求解之通法——反思求解一类几何最值问题[J].中学数学，2018（24）：80-82.
[4]吉宏军.构造隐形圆，妙求几何最值——以一道几何最值问题为例[J].数学教学通讯，2018（29）：71-73.
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