浅谈在数学教学中培养学生的创造性思维能力

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　　摘要：爱因斯坦曾说过："全民族创造性思维的自由发挥将决定着国家未来的繁荣昌盛。"可见创造性思维的发展对于个人、国家乃至整个人类的进步都起着至关重要的作用。因此，在数学教学中，如何培养学生的创造性思维能力，是一个非常值得探讨的问题。本文围绕运用联想思维、发散思维、收敛思维、逆向思维等方法，加强对创造性思维的训练，达到培养学生创造性思维能力的目的
　　关键词：创造性思维  联想思维  发散思维  收敛思维  逆向思维
　　数学教学不仅是传授知识，更重要的是培养学生的思维能力，特别是培养学生的创造性思维能力。心理学研究发现：“创造性思维是智力活动的重要部分，是智能发展的高级形式。它是一种摆脱了习惯定式解决问题的思维方式。它是鼓励在发散性思维的基础进行聚合思维，创造性解决问题。”在数学教学中，如何培养学生的创造性思维能力，是一个非常值得探讨的问题。本文结合自己二十多年的教学实践，谈谈在数学教学中对培养学生的创造性思维能力的体会。
　　一、注重联想思维的训练，培养思维的深刻性
　　在学习数学的过程中，一个新颖而有创意的解题思路或解题方法，常常来自对问题中所涉及不同的知识背景之间的联想，因此，在数学教学中，引导学生正确合理地联想，是培养创造思维能力的一个重要途径。
　　 1.数形联想
　　数形结合是初中数学中的一种重要思维方法，有些代数问题看似无从下手，而与图形联系起来考虑，常能得到非常新颖、巧妙的解法。
　　例如：比较x2与x的大小
　　分析1：因为x的取值范围没有给定，比较x2与 x的大小难于确定，但可以引导学生联想函数y=x2–x的值的情况，作出函数y=x2–x的图象，如图1所示。
　　这样可以得出：
　　当x<0或x>1时，y>0，于是x2 >x
　　当x=0或x=1时，y=0，于是x2 =x
　　当02
　　分析2：比较x2与x的大小，可以联想比较 y1= x2 ，y2 =x ，两个函数在同一坐标系内的图象的情况，如图2所示，显然由图中可以形象地得出：
　　当x<0或x>1时， ，于是 x2>x
　　当x=0或x=1时， ，于是 x2= x
　　当0   ，于是 x2
　　2.特征联想                         
　　有时抓住题目中的特征展开联想，可能收到意想不到的效果。例如：已知x=2 ，求代数式（1+x）（1+x 2）（1+x4）…（1+x64）的值。
　　分析：观察待求的式子，结构变化很有规律，联想到平方差公式，只要配上因式1-x，即可獲得优美的解法。
　　原式= （1-x）（1+x ）（1+x2 ）（1+x4 ）…（1+x64 ）
　　= （1-x2 ）（1+x2 ）（1+x4 ）…（1+x64 ）
　　=（1-x4 ）（1+x4 ）…（1+x64 ）
　　= ……
　　= 　　=-1+2128
　　 3.形似联想
　　有时，我们遇到一些问题中的题设或结论，在形式上与我们学过的有关知识有所相似，因此可以产生联想，悟出妙处。例如：已知：（b-c）2 = 4（a-b）（c-a）且a≠0。 求证：     = 2
　　分析：此题可以将已知条件展开，然后合并，配方而得证，但比较繁琐，观察已知条件，发现其形式与一元二次方程根的判断式b 2- 4ac很像，因此可联想到方程x 2+（b-c）x+（a-b）（c-a）=0 有两个相等的实数根，分解因式即得
　　[x-（a-b）][x-（c-a）]=0
　　∴x-（a-b）=0或x-（c-a）=0
　　∴x1 = a-b， x 2 = c-a
　　∴a-b = c-a
　　∴2a = b+c
　　 ∴2=          即      =2
　　二、注重發散思维的训练，培养思维的灵活性
　　发散思维是对熟悉的事物，能够采用新的方法或从新的角度加以研究，从而在相同或相似之中看出不同的思维形式。在教学中注重发散思维的训练，不仅可以使学生的解题思路开阔，妙法顿生，而且可提高学生勇于探索新方法的积极性。
　　 1.运用一题多解，培养学生的发散思维
　　思维的灵活性在解题中表现为善于分析题意，迅速建立联想，打开解题思路，大量的数学实践证明，一题多解可以沟通知识引发多向思维。
　　例如：一轮船在两港口城市之间航行，水流速度为2.4里/小时，顺流航行需要2小时，逆流航行需要3小时，试求两港口之间的距离。
　　分析：此题只要引导学生抓住基本关系和本题中两港之间的距离与轮船的自身航速“不变量”就可以从多方位考虑设未知数、列方程。
　　解法一（直接设未知数）：设两港之间距离为x里，则由顺流、逆流两个角度去考虑同一个量——船的航速的不同表达式，从而得出方程 ：
　　解法二（间接设未知数）：设轮船自身的速度为 y里/小时。则同样可由顺水、逆水两个角度去考同一个量——两港之间的距离的不同表达式，从而得出方程：
　　（注意，还要求出距离）
　　解法三（设多个未知数）：设两港之距为x里，轮船自身的速度为y里/小时，则由行程问题各量的基本关系式，可得方程组：
　　消去其中的y ，即可求得两港之间的距离。
　　总之，在教学中，向学生传授“一题多解”的方法，不仅能提高学生的学习兴趣，提高解题能力，优化解题思路，而且对发散性思维能力的培养有很大的帮助。
　　2.运用一题多变，培养学生的发散思维
　　在教学中，如果把一些题目的条件和结论适当改变得出新题目，由一题变多题，通过一题多变的训练，充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力。
　　例如：甲乙两站间的路程为360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km ，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km，两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
　　（1）（条件变式）甲乙两车同时从A地出发，甲的速度是48km/时，乙的速度是72km/时，它们背向而行，几小时相距800km？
　　（2）（结论变式）甲乙两站相距360km ，慢、快两车分别从甲乙两站同时相向而行，3小时相遇，快车每小时比慢车多行驶24km，求慢车速度。 　　（3）（背景变式）甲乙两队合作360个零件，甲队每小时做72个，乙队每小时做48个，甲队先做25分钟后，乙队加入合作，问：甲、乙两队合做几小时完成任务？
　　采用“一题多变”的教法，要求教师要善于将陈题翻新，哪怕只是提高题目形式的变化，也可以激发学习兴趣，达到提高思维灵活性，巩固基础知识的效果，更有利于学生发散思维能力的培养和发展。
　　3.运用一题多思，培养学生的发散思维
　　教学时运用一题多思，启发学生思考，从不同的角度去探索，寻求多种解题思路，从而得出不同的答案。
　　例如，在八年级上册数学（人民教育出版社，2013年5月）三角形全等中的一条习题，如图3，已知∠ABC=∠DCB，增加一个你认为适当的条件，使得△ABC≌△DCB，并说明你的理由。
　　分析：欲证明△ABC≌△DCB，已具备的条件有： ∠ABC=∠DCB（已知）
　　BC=CB（公共边）即已有“SA”，要使三角形全等，可想法构造“ASA”或“SAS”或“AAS”
　　解法1：增加条件为∠ACB=∠DCB，
　　在△ABC和△DBC中
　　∠ABC=∠DCB（已知）
　　BC=CB（公共边）
　　∠ACB=∠DCB（已给）
　　∴△ABC≌△DCB（ASA）
　　解法2：增加条件为AB=DC
　　在△ABC和△DBC中
　　AB=DC（已给）
　　∠ABC=∠DCB（已知）
　　BC=CB（公共边）
　　∴△ABC≌△DCB（SAS）
　　解法3：增加条件为∠A=∠D
　　在△ABC和△DBC中
　　∠A=∠D（已给）
　　∠ABC=∠DCB（已知）
　　BC=CB（公共边）
　　∴△ABC≌△DCB（AAS）
　　4.引申題目，培养学生的发散思维
　　把问题不断变换、拓广，将思维逐步引向纵深，从而达到触类旁通、举一反三的境界，达到培养学生思维的深刻和敏捷。例如，在八年级下册数学（人民教育出版社，2013年8月）中，“中位线定理与特殊的平行四边形的综合运用”一节内容有这样的问题：
　　求证：顺次连接四边形的中点，所得的四边形是平行四边形。
　　变形引申为：
　　（1）求证：顺次连接对角线相等的四边形四边的中点，所得的四边形是菱形。
　　（2）求证：顺次连接对角线互相垂直的四边形四边的中点，所得的四边形是矩形。
　　（3）求证：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边的中点，所得的四边形是正方形。
　　（4）求证：顺次连接平行四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。
　　（5）求证：顺次连接等腰梯形四边中点，所得的四边形是菱形。
　　三、注重收敛思维的训练，培养思维的整合性
　　收敛思维，也称集中思维，是在已有的众多信息中寻找最佳的解决问题方法的过程。在教学中，教师在讲授时总是一章一节地相继地进行，打破了知识体系整体性，弱化了学生的聚合思维能力，为了弥补这个缺陷，就要对学生进行收敛思维的训练，收敛思维的具体方法很多，常见的有抽象与概括，分析与综合，比较与联想，归纳与演绎等。
　　 1.抽象与概括的训练
　　抽象即将事物中存在的某种规律（或事物的特征）抽象出来的思维方法。概括即将所抽象出来的规律（或事物的特征）概括起来的思维方法。例如：七年级上册数学（北京师范大学出版社，2002年4月第2版）第111页中的《探索规律》一节就是这两种方法的运用。又如讲授同册书中第44页《有理数加法法则》时，先讲下面内容：
　　（1）向东移动5个单位，再向东移动3个单位，两次一共向东移动了多少个单位。（规定向东为正向西为负），列式：5+3=8。
　　（2）向西移动5个单位，再向西移动3个单位，两次一共向西移动多少个单位。列式：（-5）+（-3）= -8
　　（3）向东移动5个单位，再向西移动5个单位，两次一共向东移动了多少个单位。列式（+5）+（-5）=0
　　（4）向东移动5个单位，再向西移动3个单位，两次一共向东移动了多少个单位。列式5+（-3）=2
　　（5）向东移动3个单位，再向西移动5个单位，两次共向东移动了多少个单位。列式：（+3）+（-5）= -2
　　（6）向西移动5个单位，再向东移动0个单位，两次一共移动了多少个单位。列式：（-5）+0= -5
　　通过这6个例子，让学生抽象、概括，从而推理出加法法则，以达到培养收敛思维的目的。
　　 2.分析与综合的训练
　　分析即将某一知识或某一题目分为几部进行研究和讨论。综合，就是将所研究和讨论的问题的各部分组合起来构成一个新的整体。分析与综合是密不可分的两种思维方法。
　　如解求值题分为两个部分：（1）（a+b-5）·（a-b+7）2=0
　　（2）（a2-b2）+（a+b）2，
　　经过分析后可发现由（1）得：a+b=5，a-b=-7 ，由（2）得：（a2-b2）+（a+b）2=（a+b）（a-b）+（a+b）2综合（1）、（2）运用整体代入法即可求解，这就是分析与综合的运用。
　　 3.类比与联想的训练 　　类比，即为将多个事物进行比较，找出异同的思维方法。联想，即在思考某一事物时想到相关问题的思维方法。例如，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都很相似，因此在教授分式时，引导学生联想到分数，通过与分数进行类比，这样学习分式，显然会事半功倍。
　　四、注重逆向思维的训练，培养思维的独创性
　　  1.加强定义逆向思维的训练
　　作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。
　　例如：若a、b为实数，且a2+3a+1=0，b2+3b+1=0
　　    求： +   的值。
　　分析：按常規思路求值是繁琐的。由题设易知a、b的关系，有相等和不等两种情况。当a=b时，原式=1+1=2，当a≠b时，逆用方程解的定义可知，a、b分别是x2+3x+1=0的两个实根，则由根与系数的关系有：a+b=-3，ab=1，故      +    =      =
　　=             =7，这样解简单、快捷。
　　2.加强公式逆向思维的训练
　　数学中的公式总是双向的，可是很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不可习惯。事实上，若能够灵活地逆用公式，再解题时，就能得心应手，左右逢源。
　　例如：设是x1、x2方程2x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系，求  的值。分析：此题利用根与系数的关系直接求   的值是困难的，不难看出，应先求 的值，再逆用公式=|a|，求出结果。
　　由于 　　而
　　∴
　　 3.加强运算法则逆向思维的训练
　　数学中很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系，而且在同一级运算中，可以互相转化。
　　例如：已知：xm=3 ， xn=7 ，求x3m-2n的值
　　分析：该题先逆用同底数幂除法法则，再逆用冪的乘方法则后得到结果。
　　    解：
　　 4.加强定理逆向思维的训练
　　不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探究新的知识，勾股定理、一元二次方程的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分之泛。
　　例如：解方程组
　　分析：这个方程组可以用代入法解。但根据韦达定理的逆定理可知x、y是方程Z2+3Z-10= 0的两个根，因此，又可通过解这个一元二次方程来求x、y。解方程
　　Z2+3Z-10= 0 得：Z1=-5或Z2=2  ，
　　所以原方程组的解是
　　在数学教学活动中，教师应善于鼓励和引导学生对数学问题所涉及的知识进行多角度的联想，横向和纵向、数与形、外在形式和内在联系，从各个不同角度研究分析问题，探究新颖的解决问题方法，达到培养学生创造性思维的目的。
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