玻色．爱因斯坦凝聚体的光学色散关系

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　　摘要：最近的研究表明，玻色一爱因斯坦凝聚体（ Bose-Einstein Condensate，BEC）可作为量子电介质材料对光场产生反作用，实现光场一物质波的协同操控.然而BEC的色散性质还没有被研究.为此，解析得到了BEC对大失谐光的一阶色散和二阶色散的计算公式.数值计算表明，BEC的折射率以及二阶色散系数与红、蓝失谐的性质有关：在红失谐时，折射率大于1，且二阶色散是正常色散;在蓝失谐时，折射率小于1，二阶色散为反常色散.二阶色散系数会随着失谐量的改变而剧烈变化，当失谐量在GHz数量级时，表现为强色散介质.一阶色散和红、蓝失谐的性质关系不大，随着失谐量的增加，一阶色散减小，相应的群速度增加.因此，对于超短脉冲光，BEC是一种新型的色散介质.
　　关键词：玻色一爱因斯坦凝聚;色散;群速度色散
　　中图分类号：0436.3
　　文献标志码：A
　　DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
　　0 引 言
　　超冷原子气体在量子仿真[1-4]、精密测量[5-6]及量子信息[7-8]等领域发挥着重要的作用.在这些研究中，激光是对其进行操控的主要手段[9-14].由于超冷气体的密度通常很低，所以超冷气体作为一种电介质对大失谐激光的反作用常常可以忽略.然而，近年来关于光与原子玻色一爱因斯坦凝聚相互作用研的究表明，在某些情况下，玻色一爱因斯坦凝聚体的反作用（又称局域场效应）可以产生可观察的效应[15-17].2008年，中国科学院武汉物理与数学研究所观察到大失谐驻波对玻色一爱因斯坦凝聚体的非对称衍射现象，且这个现象不能被以前的理论所解释[18]，2011年，Zhu等利用局域场效应成功解释了该非对称衍射现象[19]，2013年，他们又进一步预言了该效应引起的玻色一爱因斯坦凝聚体在光晶格中的极化孤子现象[20].2016年，Bons等直接在实验中测量到了玻色一爱因斯坦凝聚体的折射率[21]，进一步证实了局域场效应的存在.局域场效应的强度和原子数目成正比[22-23].通常的玻色一愛因斯坦凝聚体数目少于或等于106，然而随着实验技术的发展，在一些实验室，玻色一爱因斯坦凝聚体的原子数目已经可以达到108量级[24-26]，而且原子气体的尺度达到毫米量级.由此展望，随着制备大数目玻色一爱因斯坦凝聚体实验技术的日渐成熟，局域场效应在激光操控超冷气体实验中的作用将越来越重要.
　　色散性质是所有电介质材料的重要光学性质.迄今为止，玻色一爱因斯坦凝聚体的色散性质还无人研究.为此，本文推导出了计算玻色一爱因斯坦凝聚体对大失谐光的一阶和二阶色散系数的公式，利用典型的实验数据，数值计算了这些系数.与通常的经典光学材料的色散性质不同，玻色一爱因斯坦凝聚体的一阶和二阶色散系数是空间变化的，而且在某些条件下色散非常巨大.
　　1 玻色一爱因斯坦凝聚体的色散关系
　　2 数值计算结果分析
　　在数值计算中，本文考虑锂原子玻色一爱因斯坦凝聚体D2线跃迁[28]来研究色散.再假设入射光场是脉冲光，持续时间小于1 ns，所以近似认为物质波波函数在脉冲持续时间内不随时间变化.假设一个如图1所示的雪茄型玻色一爱因斯坦凝聚体，这个凝聚体在横向和纵向都被谐振子势阱所束缚，其波函数难以直接解析给出，这里采用变分波函数[29-31]（红失谐）和△=2 GHz（蓝失谐）时，折射率n的空间分布.图3给出了失谐量△= -2 THz（红失谐）和△=2 THz（蓝失谐）时，折射率n的空间分布.可见在原子密度越高的地方折射率越偏离.红失谐时，折射率n>1;蓝失谐时，折射率n <1.折射率的大小和失谐量有关，随着失谐量的增加，偏离真空折射率越小.在本文的计算中，玻色一爱因斯坦凝聚体的折射率偏离真空折射率很小.如要进一步提高折射率，可以通过增加原子数目，或者减小凝聚体的空间分布宽度以提高密度.
　　在本文的数值计算条件下，折射率偏离真空条件很小，但并不意味着色散效应很小.通过式（8）、式（9），进一步计算了锂原子爱因斯坦凝聚体的一阶色散β1、群速度色散p的空间分布关系.失谐量△= 土2 GHz，以及△=土2 THz时，一阶色散β1的分布分别如图4和图5所示.从图4、图5上看，由于原子密度分布不均，一阶色散在空间中的分布也不均匀，并且和红失谐或者蓝失谐无关.当失谐量的大小增加，一阶色散值减小.由于一阶色散和群速度成反比，所以增加失谐量，可以提高群速度.一阶色散和失谐量的符号关系不大，β1（△）≈β1（-△），与式（11）一致.
　　失谐量△= 土2 GHz，以及失谐量△=土2 THz时，二阶色散β2的分布分别如图6和图7所示.从图6和图7上看，红失谐时，二阶色散是正常色散，而在蓝失谐时是反常色散.随着失谐量的减小，二阶色散系数急剧地改变.失谐量△= 土2 THz，二阶色散和光纤中二阶色散相当.而在失谐量△=土2 GHz时，二阶色散却高出约9个数量级左右（与式（12）一致），这时凝聚体表现为强群速度色散.
　　3 结论
　　本文解析得到了玻色一爱因斯坦凝聚体对大失谐光的一阶色散和二阶色散关系.本文的研究表明，在红失谐的情况下，折射率n>1;在蓝失谐的情况下，折射率n
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