“四基”及其培养
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作者:孔凡哲
使学生获得进一步学习、未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），是新版《数学课程标准》的一个重要特征。
一、从“双基”到“四基”
重视基础知识、基本技能（即“双基”）是我国基础教育的历史传统。
1952年颁布的《小学算术教学大纲（草案）》在教学目的中指出：“主要使儿童能够自觉地、正确地和迅速地进行整数计算，能够运用已经获得的知识、技能和技巧去解答算术应用题和解决日常生活中简单的计算问题。算术教学必须有助于儿童智慧的发展和道德品质的培养，以促进全面发展的教育任务的实现，应该做到使数和量成为儿童认识周围现实的工具。”明确提出小学算术教学的任务是保证儿童自觉地、巩固地掌握算术知识和直观几何知识，并使他们获得实际运用这些知识的技能，是小学数学“双基”的最早表述。
1963年的《全日制小学算术教学大纲（草案）》《全日制中学数学教学大纲（草案）》和1986年的《全日制中学数学教学大纲》都重视数学“双基”教学。1986年的《全日制中学数学教学大纲》中明确提出了数学“基础知识”与“基本技能”，数学“双基”教学理念在教学大纲中正式确立。1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》将“小学算术”发展为“小学数学”，同样重视基础知识、基本技能，并着眼数学思想与数学能力。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确提出，让学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。表述中保留了基础知识、基本技能，并将基本思想、基本活动经验的原型列入其中。2011年12月颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》首次明确将基本思想、基本活动经验与基础知识、基本技能并列为“四基”。新版的《数学课程标准》继承了这种表述。
“四基”是“双基”内涵丰富发展和分化的结果，是我国数学课程改革的一次重大突破，是数学课程目标的一种新要求。由传统的“双基”发展成“四基”，体现了我国基础教育在继承中发展的特色。
二、“四基”内涵分析
1.基础知识、基本技能
基础知识指数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学方法。基本技能指能够按照一定的程序与步骤运算、作图或画图，能够进行简单的推理。
对于“双基”的内容，即对于什么是学生应该掌握的“基础知识”和“基本技能”，在信息技术突飞猛进，获取知识、技能的渠道大大增加的当今时代，应该与时俱进。新版的《数学课程标准》适当删减了繁雜的计算（如三位数乘三位数等）、重复的内容（如等腰梯形）等，适当增加了数感、估算、算法、符号意识、收集和处理数据、统计初步、数学建模初步等内容，就是数学“双基”内容与时俱进的具体体现。
2.基本思想
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学基本思想是数学产生和发展所依赖的思想，是学生领会之后能够终身受益的数学思想。数学基本思想是体现或应该体现于基础数学中具有奠基性、总结性的，最广泛的数学思想，它含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且历史地发展着。
数学发展所依赖的思想，本质上有三个，它们构成数学的基本思想。第一个是抽象。数学中的抽象指，把人们日常生活和生产实践中那些和数学有关的东西析取出来，作为数学研究的对象。第二个是推理。数学自身的发展依靠的是推理，即在一些假设下，按照一定的逻辑规律进行推理，得到命题和定理。第三个是模型。模型是沟通数学与外部世界的桥梁。模型是在讲故事，是用数学语言表达的现实生活中的故事。
数学思想不同于数学方法或数学思想方法。数学思想往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的，而数学方法往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现，而数学方法又常常反映了某种数学思想。
数学思想是数学教学的核心和精髓，数学教学中应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高数学素养。
3.基本活动经验
基本活动经验指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。基本活动经验是个体在经历了具体的学科活动之后留下的具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉的，也可以是经过反省之后形成的经验。基本活动经验包含策略性内容，模式性、方法性内容与体验性内容等，又可以区分为操作的经验、探究的经验、思考的经验与复合的经验。基本活动经验包含归纳概括、类比推广、数学表达、证明四个核心成分，也可以简单区分为思维的经验和操作的经验。
数学活动经验从本质上讲是关于数学活动的缄默知识，它储存于人的潜意识中，对数学直觉思维的产生起着重要的作用。
数学基本活动经验与基础知识不同。知识可以传递;数学基本活动经验不能被传递，需要亲身经历和感悟。数学基本活动经验也不同于数学能力。能力能被人为细化，直接影响活动效率;数学基本活动经验更为综合，没有直接载体说明经验的有无或强弱，但一定时间积淀的思维模式反映数学基本活动经验积累的结果。数学基本活动经验是经历和感悟了数学归纳推理和演绎推理后积淀的思维模式，最终建立一定的数学直观。
积累基本活动经验可以帮助学生理解数学知识，感悟数学学科思维方式。在数学课程教学中，基本活动经验是综合实践活动的基本目标之一，是过程与方法目标的具体化，它与基础知识、基本技能、基本思想同等重要。
4.四基之间的关系
（1）“双基”教学是我国的教学传统，但是已经不能适应当今时代的发展。从方法论的角度分析，我国中小学数学教育的优势在于基础知识（概念记忆与命题理解）扎实、基本技能（证明技能与运算技能）熟练，这与数学“双基”教育所希望达到的目的是一致的。但是，从人发展的角度、从培养创新性人才的角度考虑，这种知识靠记忆、技能靠熟练的方法依赖于“熟能生巧”的传统模式，是不够的、甚至是不利的。事实上，真理的发现主要靠归纳（即广义的归纳，也称之为合情推理），而验证、证明真理需要靠演绎。所以，必须将基本思想、基本活动经验放置到与基础知识、基本技能同等重要的位置。这正是新版《数学课程标准》的亮点之一。 （2）让学生获得基本思想和基本活动经验是培养创新能力的需要。创新，本质上源于归纳，而归纳能力是建立在实践基础上的。归纳能力的培养可能会更多地依赖于“过程的教育”，依赖于经验的积累。这种积累正是基本思想、基本活动经验的积累和形成过程。也就是说，基本思想、基本活动经验只能在过程中加以培养，而不能采取简单的结果式的教育方式。这里的“过程的教育”并不是指在授课时要讲解，或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而是指学生思考的过程、探究的过程、预测的过程、抽象的过程、推理的过程、反思的过程等。通过这些过程，学生亲身感悟归纳、演绎的思想和方法，逐渐积累归纳、演绎并举的思考与实践的直接经验，而这些恰恰是传统数学课堂教学中被忽视的东西。
（3）隐性的基本思想、基本活动经验必须与显性的基础知识、基本技能相结合。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间;数学思想是数学教学的精髓，是统领课堂教学的制高点;数学活动是不可或缺的教学形式与过程。从知识的角度来看，“双基”是一种理性的、形式化的结果性知识，而基本活动经验则是一种感性的、情景化的过程性知识。它们各自强调了数学内容的一个侧面，前者形成的是一种知识系统，后者形成的是一种经验系统，二者的有机结合才能形成完整的数学知识结构。就方法而言，“双基”以演绎法为主，而结论的预测与发现、推理思路的探索与调整以及知识的实际应用等，靠演绎法是推不出来的。
三、如何培养
首先，基本思想、基本活动经验必须融于基础知识、基本技能的教学之中。义务教育数学教学就是要帮助学生在获得必要的基础知识和基本技能、感悟数学基本思想、不断积累数学基本活动经验的过程中，逐步提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，逐步发展数学实践能力及创新意识，树立初步的科学精神，促进学生学会学习。
一方面，在数学概念、公式、法则、命题等的形成过程中培养学生的抽象思想，是数学抽象思想、思维经验培养的主渠道。数学课程教学中，在展示数学对象逐级抽象的同时，也要充分展示数学知识发生发展的鲜活过程，即通过直觉、借助归纳，进而思考、预测结论，通过演绎推理验证结论。另一方面，我们要在数学概念、数学技能和命题、法则等的教学中，注重培养学生的归纳、类比、逻辑推理等数学思想。归纳、类比、逻辑推理等数学基本思想的培养，必须融入基础知识、基本技能的日常教学之中，这是中小学数学教学的主渠道。
其次，基本思想、基本活动经验也需要专门、专题培养。
第一，综合实践领域的教学是积累基本活动经验的主渠道之一。数学课程标准中明确提出：“参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。”这个过程与发展“四能”是融为一体的。例如：
观察下列问题：
（1）计算：15×15 25×25
（2）你能发现什么共性规律？能推广吗？
（3）如何向别人说明其正确性呢？
问题（1），学生通过计算得出15×15=225，25×25=625。
其共性规律，即问题2，在学生观察、思考的基础上，教师出示：□5×□5=25，其中的=□×（□+1）。学生通过计算发现：问题（1）中的两道计算题，“”的数字都是相同因数十位上的数字乘這个数字加1。这个发现对不对，需要进一步验证。学生用“45×45”验证发现，用“4×（4+1）”的方式，得到的结果“2025”与笔算的结果“2025”是一致的。从而，证明猜想的规律可能是正确的。
如何向别人说明其正确性呢？“□5”用字母表示就是“10·□+5”，于是，“□5×□5”可以写成“（10·□+5）·（10·□+5）”，利用乘法对加法的分配律，可以得到其结果是“100×□×（□+1）+25”。从而，发现的规律是正确的。
上述案例在巩固“两位数乘两位数”基础知识、基本技能的过程中，让学生再次经历归纳和猜测的思维过程、推理过程，获得了“个案1、…、个案n→归纳出一个共性规律，猜测→验证自己的猜测→得出一般结论”的直接经验和体验，经历了一次“数学家式”的思考过程。教学的层次性并不是在知识技能的简单重复上下功夫，而是按照知识技能的复杂程度、学科思维的深广度、待解决问题的繁难程度等多条线索，交替螺旋上升，进而让学生获得知识技能形成的经验、独立思考的经验、猜测发现的直接经验和体验，最终形成良好的数学学科直观，提升其数学学科素养。这种过程性教学正是数学教育的魅力之所在。
第二，数学抽象思想存在于数学概念、命题的发展过程之中，在获得概念、命题的同时也要关注数学抽象思想的培养。
教学“两位数加一位数的进位加法”“27+5=？”时，我们可以借助“十个鸡蛋一盒”这个经验。学生已经拥有相对丰富的类似经验或经历——“27”表示两盒鸡蛋+一盒不满的鸡蛋（即盒子里有7个鸡蛋，这意味着空着3个空位），另有5个鸡蛋。一共几个鸡蛋呢？借助生活经验，学生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来，填补在第三盒鸡蛋的3个空位上，即将空位补齐，凑成一整盒，余下2个鸡蛋。这就是将5分成3与2的和，用3与27凑成30，因而，结果是32。这是最朴素的“凑十进位”，而这里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”原型，属于典型的借助“实物”的直接抽象。
在上面的过程中，学生一方面能够获得操作的经验，另一方面逐渐积淀“十进位”的抽象经验，逐步感知位置制，形成“两位数加一位数的进位加法”的运算技能。
第三，数学模型思想的培养往往与基本活动经验的积淀融为一体。例如，“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只足，问鸡兔各有几只？
这道题用列方程的方法解答比较简单。采取列方程法解决问题，关键在于建立方程“模型”的抽象过程：
①发现问题中的等量关系。即：鸡脚数与兔脚数之和，就是总脚数;鸡头数与兔头数之和，就是总头数;每只鸡的脚数比每只兔的脚数少2”。
②用等式表达关系。即：鸡脚数+兔脚数=总脚数;鸡头数+兔头数=总头数;每只鸡的脚数=每只兔的脚数-2。
③用符号语言表达关系。即：鸡+兔=94;鸡+兔=35。其中，“鸡”表示鸡的总脚数，“兔”表示兔的总脚数;“鸡”表示鸡的总头数，“兔”表示兔的总头数。
④用含有未知数的方程表达关系。即：设笼中有兔[x]只，由第二个关系知道鸡有（35-x）只，于是，兔的总脚数为4x，鸡的总脚数为2·（35-[x）。将这个关系带入另一个等式，得：4x+2（35-x）=94.
解方程的基本思路是，将含有未知数的项放在方程的一边，将不含未知数的项放在另一边，进行代数式化简和计算。即，将方程化为“ax=b”的形式，进而求出解：[x=12]。解方程的要点在于“化繁为简、化生为熟”的化归思想。
利用列一元一次方程解决问题，核心在方程建模的过程，即：发现问题中的等量关系-用等式表达关系-用符号语言表达关系-用含有未知数的方程表达关系-一元一次方程。
总之，数学基本思想的培养、基本活动经验的积淀，必须融入数学知识、技能的日常教学之中，而不能“孤军奋战”。同时，充分利用综合实践领域的教学，是培养学生基本活动经验不可缺少的载体。
责任编辑 姜楚华
孔凡哲
教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程标准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家;主持完成国家、省部级以上科研项目12项;出版专著47部;先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。
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