基于刺激反应车辆跟驰模型的交通流稳定性分析

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　　摘 要：车辆相互跟驰的交通流波动特性不仅容易引发交通事故，也是导致道路通行效率降低或交通拥堵的重要原因之一。因此，本文以车辆跟驰模型为切入点，建立刺激反应车辆跟驰模型的控制系统传递函数，并进行拉普拉斯变换，发现控制系统特征方程为具有驾驶员敏感性参数依赖的超越方程，应用零点定理确定控制系统稳定性的特征方程根分布状态，进而获得驾驶员敏感性参数的取值范围。数值仿真结果表明：本文所求的驾驶员敏感性参数取值范围，在微观层面上保证了车辆跟驰系统的稳定性，宏观上保证了交通流运行的平稳性及快速性，客观上降低了交通流的波动性，提高了道路通行效率。
　　关键词：刺激反应车辆跟驰模型;敏感性参数，特征方程，交通流;稳定性
　　Abstract：The traffic flow fluctuation caused by vehicles following each other is not only easy to cause traffic accidents， but also one of the important reasons for the reduction of road traffic efficiency or traffic congestion. Therefore， in this paper， the transfer function of the control system of the vehicle-following model with stimulus-response is established， and then Laplace transform of the transfer function is applied. It is found that the characteristic equation of the control system is a transcendental equation with driver sensitive parameter dependence. The root distribution state of the characteristic equation is estimated to ensure the stability of the control system by using the zero point theorem， and then the range of the driver sensitivity parameters is obtained. The results of numerical simulation show that the range of driver sensitivity parameters obtained in this paper can not only guarantee the stability of vehicle-following system on the micro level， but also the stability and rapidity of traffic flow on the macro level， and reduces the traffic flow fluctuation objectively， and improves the traffic efficiency.
　　Keywords：Vehicle-following model with stimulus-response; sensitivity parameter; characteristic equation; traffic flow; stability
　　0 引言
　　随着我国汽车保有量的持续增加，交通事故及交通拥堵现象已经成为亟待解决的社会问题。众所周知，交通流的波动特性是导致交通拥堵主要原因之一。根据交通流理论可知：微观上车辆相互跟驰和相互影响积累效应体现为道路交通流的宏观特性。因此，为降低道路交通流的波动特性，提高通行效率和解决交通拥堵问题，以微观层面上研究车辆跟驰特性成为研究该问题的切入点。
　　车辆跟驰理论，首先由Brackstone等[1]在20世纪50年代初总结了前人研究成果，对车辆跟驰模型进行了系统的分类和研究，并提出了车辆跟驰模型基本思想。而后，Pipes[2]在理论上对跟驰模型的动力学行为进行了系统的研究;Chandler等[3]应用实验法对GHR（Gazis-Herman-Rothery）跟驰模型进行了实验，并对跟驰模型进行参数标定和相关性分析。车辆跟驰模型的动力学行为研究日趋成熟。在模型稳定研究方面，Kikuchi等 [4]和Wilson[5]從数学和物理学角度分析和研究Gipps（车辆跟驰）模型稳定性，并通过数值仿真进行了验证;Wilson[5]不仅研究车辆跟驰模型稳定性，也研究了模型能控性，并进一步提出模型在宏观层面上可保证交通流的平稳性和快速性，这一研究工作具有里程碑的意义;王殿海等[6]提出研究跟驰模型的同时，更要关注车辆动力学微观行为与宏观交通流现象的统一。杨达等 [7]在Gipps模型的基础上，提出了改进的Gipps模型，并使用NGSIM（Next generation simulation，美国联邦高速公路管理局道路交通数据中心）的实际数据进行模型参数标定，使得该模型具有更高的稳定性;Jin等[8]进一步研究了跟驰模型在不同交通状态下的稳定性。
　　综上所述，交通工程领域内专家十分关注车辆跟驰模型稳定性的研究，并试图在理论上或实验上，对模型进行分析和参数标定，以期获得满意的车辆跟弛结果。因此，本文以控制理论为基础，对车辆跟驰理论中刺激反应车辆跟弛模型进行系统的理论分析，获得驾驶员敏感性参数对模型稳定性的影响。 　　1 刺激反应车辆跟驰模型
　　车辆跟驰模型思想起源于20世纪50年代初期，发展了近60年。车辆跟驰的研究方向吸引了交通工程学、系统工程学、自动控制和车辆工程等诸多领域专家及学者进行深入研究，并取得了丰硕的成果[9-13]。Chandler等[3]提出的RV（Relative Velocity Model，RV）模型被公认为最早的刺激反应模型，且成为跟驰模型的基本框架。刺激反应车辆跟弛模型的基本思想是在车辆跟驰过程中，驾驶员刺激反应来源于当前车辆与其前车之间的速度差，经过反应延迟后，驾驶员以改变加速度作为对该刺激的反馈，反馈对刺激的敏感性程度用敏感系数来表示。其模型为：
　　为车辆n在t时刻的加速度;λ≥0为驾驶员敏感性参数;τ为人体反应时间0.75 s，是指驾驶员从接收到前方车辆刺激到整个操作过程结束的时间，大致包含两部分：其一，驾驶员反应决策时间，其二，车辆硬件设施对驾驶员指令和操作的传递时间。
　　刺激反应车辆跟弛模型为跟弛理论研究中的经典模型，因其理论分析较为困难，部分学者通过实验法对该模型中的敏感性参数进行了标定。然而，参数标定后的车辆跟驰模型在某种情况下，其数值仿真结果出现了交通流波动效应，该现象一直困惑着交通领域内专家。因此，本文针对这一现象进行理论分析与研究。
　　2 刺激反应车辆跟驰模型稳定性分析
　　将刺激反应车辆跟弛反应模型（1）改写为：
　　因此，部分学者通过数值仿真分析或实验法，确定控制参数λ的取值，以期望获得良好的车辆跟弛特性，该方法即使获得理想的控制品质，却不能在理论上给予一定的合理解释。
　　2.1 刺激反应车辆跟弛模型传递函数的研究
　　许多情况下，车辆跟驰模型中反馈控制策略公式（2），虽然能够保证车辆跟驰特性，但有可能系统输出信号不能有效地跟踪输入信号，即系统稳定性可能收敛到极限环，而不能收敛到平衡点，宏观上表现出交通流的波动效应。因此，应用控制理论分析设计刺激反应车辆跟弛模型的稳定性，将获得该模型中敏感性参数取值范围。
　　为了便于分析问题，选择忽略车辆行驶速度及加速度所具有饱和特性，直接分析模型稳定性与敏感性参数λ之间的关系。
　　对公式（2）进行拉普拉斯变换得：
　　由图 1可知，刺激反应车辆跟驰模型控制系统的输入量为前车速度vn-1（s），而跟随车辆速度vn（s）为控制系数的输出量，构成闭环反馈控制系统，因此在理论上选择恰当的驾驶员敏感性参数λ会使控制系统具有较好稳定性。
　　2.2 刺激反应车辆跟驰模型控制系统极点分析
　　车辆跟驰模型中特征方程（5）是具有参数λ依赖的超越方程，求解其特征方程的根比较难，所以不能用根轨迹法直接描述车辆跟驰控制系统极点的运动轨迹。但是，可用零点定理分析判断跟驰模型中具有敏感性参数λ依赖的特征方程（5）根的分布范围。
　　通过设定参数λ值，确定特征方程（5）根的分布，图 2为应用Matlab软件求得具有敏感性参数依赖的车辆跟驰系统传递函数极点分布状态。
　　根据图 2中一族超越方程函数曲线可知：随着λ由0.1增大至0.45时，主极点逐渐远离虚轴，控制系统收敛速度快，但超调量可能会增加，因此综合考虑反馈控制量参数（驾驶员敏感性系数）选择λ=0.45。当λ>0.5时，跟驰系统的特征方程无解，控制系统稳态误差非零，即使控制系统能保证车辆的跟驰特性，系统也会出现跟踪抖动的现象，宏观上表现为交通流具有波动效应，因此降低车辆通行效率。
　　3 数值仿真分析
　　结合实际情况，车辆的行驶速度和加速度将受到物理条件限制，不能任意取值。例如：车辆发动机输出功率及道路所能提供的最大附着力都将限制车辆获得加速度，因此跟驰车辆的期望加速度有可能不能获得，而仅仅获得车辆所提供最接近期望加速度的次优解。
　　对刺激反应车辆跟弛模型仿真时间，应考虑实际车辆加速性能的物理条件限制。因此，在程序中加上饱和约束条件，车辆行驶速度为0 ～ 35 m/s，车辆加速度为-6.4 ～6.4 m/s2。
　　当λ=0.45时，图3仿真结果说明，车辆1速度由19 m/s减至8 m/s时运行40 s，后减至0 m/s时，车辆2跟弛情况较为理想。由图3可知，在非饱和约束条件，车辆2在5 s内跟弛上车辆1的行驶速度，前后两车速度几乎无差别跟弛，未出现波动现象。
　　由图 4可见，大约5 s后，前后车辆之间距离几乎没有改变，说明车辆1即使变速行驶时，跟随车辆2也能有效跟弛。
　　图5为前车由22 m/s加速行驶至33 m/s，车辆2速度为0 m/s时，跟弛车辆1的运动状态。仿真结果表明：车辆2在加速度饱和约束条件下，10 s内跟驰上车辆1的速度。
　　針对非自由流的交通流跟驰系统，容易出现交通流波动现象。应用本文设计的敏感性参数λ作为系统控制量，对12辆车进行交通流的数值仿真，其仿真结果表明：在非饱和约束条件下，车辆在5 s内将跟弛上前车的行驶速度，且车辆间位移保持不变，未出现波动效应，即交通流运行状态平稳（图 6和图 7）。
　　4 结论
　　针对实验法或经验法确定车辆跟驰模型系统中驾驶员敏感性参数的缺陷，提出了该模型系统稳定性的条件，并应用零点定理分析求解出具有敏感性参数依赖的跟弛模型控制系统的极点分布范围。数值仿真结果表明：微观上车辆跟弛效果较好，宏观上交通流运行平稳，通行效率较高。
　　【参 考 文 献】
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