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球体转动惯量推导过程中的启示

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  摘 要 微积分是推导刚体转动惯量的基础。但是,不同的积分对象,其表达的含义不同。本文通过球体“微元法”、“微盘法”和“微面法”的比较,加深了学生对转动惯量概念的理解,同时体现了刚体转动惯量可以叠加的特性。
  关键词 转动惯量 积分 微元法 微盘法 微面法 叠加
  中图分类号:G642 文献标识码:A
  0引言
  大学物理教学时,转动惯量是刚体力学的重要知识点,也是学生理解的难点。但是通过对不同刚体(直棒,圆柱体,球体)转动惯量的数学推导,可以极大地加深学生对转动惯量概念的理解。我们知道,采用“微元法”,即
  也就是刚体对转轴的转动惯量等于其各“质量元”与其到转轴距离(r')平方的乘积之和。实际上,我们也可以将公式(1)变形如下。
  此时,公式(2)中的dJ 表示为刚体某一部分的转动惯量,比如微圆盘,微圆面等,而不仅仅是微质量的转动惯量。这样改变积分变量,让学生体会了刚体转动惯量可以叠加的性质,也为后续用实验方法(如扭摆,三线摆)测量多个不规则物体转动惯量做了理论指导。
  1三种积分变量的比较
  首先来看“微元法”,如图1(a)所示,微元的质量(dm)可以表示为立体角中微体积(dV)与密度( )的乘积。而微体积的长、宽、厚度分别为rsin d ,rd ,dr,所以其转动惯量可以表示为
  而采用“微盘法”,可以将球体的体积分成很多圆盘的组合,如图1(b)所示。这些圆盘直径不同,但各自绕(z)轴的转动惯量的表达形式是相同的,也是學生们熟知的,即J=mr2/2。所以可以利用公式(2),计算球体的转动惯量。注意,“微圆盘”的质量可表示为 dV= r2dz,其中微圆盘半径为r=。另外相比较“微元法”,转动惯量中有系数1/2。所以
  最后,我们采用“微面法”,如图1(c)所示。这个球体可以看成很多一定厚度(dr)的球面构成,每个球面绕(z)轴的转动惯量为J=(2/3)mr2。注意,“微球面”的体积可表示为 dV= 4 r2dr。另外相比较“微元法”,转动惯量中有系数2/3。利用公式(2),可得
  2结束语
  上述推导表明,公式(1)与(2)不能混淆。前者根据转动惯量的定义,采用“微元法”,体现了各质量元(质点元)转动惯量的叠加;后者采用“微盘法”、“微面法”,体现各质量盘、质量面转动惯量的叠加,其中的系数1/2,2/3,要特别注意,不能省略。
  参考文献
  [1] 张金锋,刘建军,公丕锋,袁五届.基于均质球对称刚体转动惯量的计算[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2016(01):84-86.
  [2] 车晓芳.均匀球体转动惯量的多种求法[J].物理通报,2011(04):44-45.
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