基于MATLAB的截尾分布下JC法计算可靠度
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作者: 周毅 陈波 赵鹏
摘 要： 在水工结构可靠度分析中，随机变量的分布形式常因几何尺寸、物理环境等条件限制，传统JC法已经不适用，因此需要对部分变量进行截尾分布处理。在此借助MATLAB丰富的函数资源，编制出截尾分布处理后的改进JC法求解程序。算例研究表明该方法的可行性，以及程序的简易、实用性。
关键词： 可靠度； 截尾分布； JC法； MATLAB
中图分类号： TV314 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）01-0053-02
一、引言
随着结构可靠性理论研究和工程设计方法的发展，近似概率设计方法已进入实用阶段，因此掌握结构可靠指标的求解方法是非常重要。其中，JC法[1]以其通俗易懂、计算速度快、适合编制计算程序和便于一般工程技术人员掌握而得到了广泛应用，且已经成为国际安全度联合委员会（JCSS）推荐采用。
然而，在水工结构的可靠度分析中，常由于随机变量变异系数过大，传统JC法求解验算点容易出现负值，而实际工程中的材料抗拉强度、抗压强度、摩擦系数、凝聚力等取值一般不小于零。另外，由于随机变量分布受到几何尺寸、物理环境等条件限制，如上游水位其最大值不可能大于坝高等，此时，一般JC法便不适用。因此，在结构可靠度分析时必须对其分布形式进行截尾分布处理[2-4]。
MATLAB已经成为了国际上最流行的科学与工程计算的软件工具，且已经成为了一种具有广泛应用前景的全新的计算机软件编程语言，具有简洁紧凑，函数丰富；程序可移植性好；图形功能强大等特点。它在科学计算、信号处理、自动控制和绘图等领域得到了广泛地应用[5]。
本文以MATLAB7.6为开发环境，编制了截尾分布下JC法的计算程序。将该程序应用于数学算例求解验证了该程序的简易、实用性，最后将该程序移植于重力坝可靠度分析中，取得了较好的效果。
二、JC法
设假设结构的极限状态方程为：
Z=g（x）=0 （1）
随机变量x的均值为μx，标准差为σx，设n维度的x*=（x*1，x*2，…，x*n）T为极限状态面上一点，称 以上公式推导均是建立在随机变量服从正态分布的基础上。然而，如果随机变量不符合正态分布，如对数分布，极值I型分布等，则可以根据国际安全度联合委员会（JCSS）推荐使用的当量正态化法，事先将非正态随机变量进行当量正态化处理。
假设非正态变量xi的均值为μx ，标准差为σx ，概率密度函数为fx （xi），累积分布函数为Fx （xi），与其对应的当量正态化变量为xi′，其均值为μx ′，标准差为σx ′，概率密度函数为fx ′（xi′），累积分布函数为Fx ′（xi′），“当量正态化”需要满足的条件(参见图1)为：
三、截尾分布下的JC法
下面针对不同的截尾方式列出相关的计算公式，其推导的具体过程见文献（2）。
（一）左截尾处理时
当x*≥xp时，令x*=0.99xp，并分别用（15）和（16）计算fxi′（x*）和Fxi′（x*）。
四、截尾分布下JC法的程序编制及算例研究
（一）数学算例
对下面的极限状态函数进行可靠度分析：
g（x）=3x1-x2
其中，x1~LN（30，0.12），x2服从极值I型分布，且均值为55，方差为0.1。
在无截尾的情况下采用编制的程序求得β=2.9274。对于x1进行左截尾，对x2进行右截尾，选择不同截尾点xp的计算结果见表1。其中对于x1p=22和x2p=80时的求解程序如下所示。
由表1的计算结果与文献（2）的计算结果很接近，且求解程序非常简洁，仅需要数十行即可，而FORTRAN编制需要几百行[6]，而且还需要编制不同的子程序。
（二）工程应用
采用文献[7]中的实例进行计算。混凝土重力坝断面图见图2。考虑下列随机变量：混凝土的抗拉强度Rt、抗压强度Rc、上游水位H、混凝土容重γ、坝顶附加荷载Q、建基面摩擦系数f和粘聚力C，各随机变量情况见表2。重力坝的失效模式为抗拉抗压强度失效、沿建基面滑动和整体倾覆三种。鉴于该坝为中小型重力坝，则只考虑坝体强度不够和沿建基面滑动两种失效模式。由材料力学方法[7]计算可得：
在抗滑稳定条件下，功能函数为：
Z1=1000fγ-75fH+fQ+40C-5H2
在强度条件下，坝趾抗压功能函数为：
Z2=Rc+6.25γ-0.147H-0.00625H3+0.0256Q
坝踵的抗拉功能函数为：
Z3=Rt+43.75γ-3.903H-0.00625H3+0.0756Q
对以上三种情况，仅考虑上游水位右截尾的方式即H≥53时，用本文程序计算结果见表3。
由表3可知，在考虑截尾分布的情况下可靠指标均有一定程度的提高，其主要是因为截去了由于水位过高导致重力坝的可靠指标降低的不安全部分。当然，这也只有在保证满足截尾分布的要求下，如不产生漫坝的情况，才是真正的计算结果。因此在采用截尾分布处理时，首先需要了解截尾分布的实用性和有效性。
五、结论
本文充分利用MATLAB软件编制程序的语言紧凑，使用方便灵活，以及利用丰富的库函数避开了繁杂的子程序编程任务，成功实现了截尾分布下JC法求解可靠度。
通过数学算例验证了截尾分布下JC法的可行性和实用性，并且通过重力坝的应用可知，对于一些实际工程中截去不可能出现的情况时，其可靠指标的求解更符合实际情况。但是，对于一些难以确定截尾点数值的变量，如摩擦系数、凝聚力等，还需更加深入的研究。
参考文献：
[1] 赵国藩.工程结构可靠性理论与应用[M].大连：大连理工大学出版社，1996.
[2] 吴世伟，李宏.变量分布截尾下可靠度计算的JC法[J].河海大学学报，1988，16（6）：75-80.
[3] 许福友，陈艾荣.基于截尾概率分布的结构可靠性分析[J].工程力学，2006，23(11)：52-57.
[4] 林明财.截尾JC法在拱座稳定分析中的应用研究[J].水利科技，2007，3：40-42，46.
[5] 张志涌.精通MATLAB6.5版教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2003.
[6] 王法银，程心恕.JC法求重力坝可靠度的电算程序[J].农田水利与小水电，1995，3：22-27.
[7] 吴世伟.结构可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.
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