基于BS和CEV模型的对于埃奇沃斯展式近似法的期权定价测试
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作者: 周皓
【摘要】 简要介绍了期权定价领域中被广泛应用的三种模型：Black-Scholar模型、埃奇沃斯展式（Edgeworth expansion）的近似法、以及不变方差弹性（CEV）模型，并根据埃奇沃斯展式的近似法，用Black-Scholar模型来模拟不变方差弹性（CEV）模型，以此来测试埃奇沃斯展式。
【关键词】 期权定价 BS模型 CEV模型 埃奇沃斯展式的近似法
引言
现代金融市场是一个金融衍生品广泛进行交易的金融市场。在过去的几十年内，众多金融衍生物被发明。然而，这也是一个有争议的领域。金融衍生物的不合理定价以及使用导致了很多灾难性事件。因此，准确定价和测试衍生金融工具就显得至关重要。本文将对Black-Scholar模型、埃奇沃斯展式（Edgeworth expansion）的近似法、以及不变方差弹性（CEV）模型进行简要的介绍。并根据埃奇沃斯展式的近似法，用Black-Scholar模型来模拟不变方差弹性（CEV）模型。以此来测试埃奇沃斯展式。
一、Black-Scholar模型及其局限性概述
Black-Scholar（1973）模型被认为是期权定价的经典模型。它假定股票价格却对数正态分布和服从几何布朗运动。其随机扩散过程（stochastic diffusion process）由于该模型的结构简单，便于计算，被广泛的应用在了商业以及学术领域。然而，BS模型由于对衍生物市场做出了一些强烈的限制性假设，模型价格与市场价格存在一些系统性的差异。
二、埃奇沃斯展式（Edgeworth expansion）概述
为了克服这些问题，缓和部分BS模型的假设，很多替代模型相继被发展出来了，其中，Jarrow和Rudd（1982）根据埃奇沃斯展式导出了一个近似法。该方法可以用多项式的形式将一种相对简单并且易于掌控的价格分布来近似所需要的真实的价格分布。该多项式为：
其中，是真实的期权价格，是近似价格，即由BS公式计算的价格，是真实价格分布中的第j次累积量（cumulant），是近似价格分布中的第j次累积量，是近似价格分布的概率密度分布函数，即对数正态分布。是无风险利率，是合同期维持的时间，是合约价。该近似公式可以将复杂、精密以及计算成本很高的期权定价模型用更为简单，更易掌控的（tractable）的定价模型（例如BS模型）来进行模拟。
在这个公式被发展出来以后，学者们已经根据市场真实数据进行了多次测试，例如：Jarrow （1982）， Corrado & Su（1996），and Balieiro Filho & Rosenfeld（2004）。然而，用数值模拟（numerical simulation）的方法进行测试的研究并没有很多。因此，本文将利用数值模拟的方法对该公式进行测试。
三、不变方差弹性（CEV）模型概述
不变方差弹性模型全名为Constant elasticity of variance，该模型由Cox（1975）提出，并由Schroder（1989）进一步进行简化为包含非中心卡方分布的累积函数的多项式。和BS模型一样，该模型也假设资产随着时间的变化符合一个随机扩散过程。它与BS模型最大的区别在于它假设资产分布方差的弹性不变，但资产分布的方差随着资产价格的变化而变化。它的随机扩散过程为：
其中Wiener过程，当 = 1时，该扩散过程就是几何布朗运动，也就是BS模型的扩散过程。当 >1，该过程的方差随着资产价格的升高而升高。当 <1，方差随着资产价格的降低而升高。鉴于很多基于市场价格的研究更倾向于后者，本文将针对 <1的情况进行分析。
根据Schroder （1989）进行的简化，CEV模型的看涨期权价格为：
其中为CEV看涨期权价格，是合同初始资产价格，是累积正态分布函数对应参数。是无风险利率，是合同期维持的时间，是合约价，为资产价格弹性，是该扩散过程的标准差。为非中心卡方分布的累积函数，在时的值，相对于自由度和非中心系数。
四、测试过程
（一）测试方法概述
本文主要利用matlab以及其附属的toolboxes将上述各个公式以及他们所需要的各项系数（例如BS以及CEV函数分布的累积量）进行编程，并利用matlab强大的数组运算功能将各项系数编辑为矢量进行运算，并将所需要的看涨期权价格生成多维数组。然后冻结部分系数（例如合同期，合同价等）并比较看涨期权在这些数据相同，其他数据变化时的绝对差均值，以此数据来评估埃奇沃斯展式近似法的作用。
（二）测试中应用的系数分别为：
合同期（年）：t = [1/12，4/12，7/12]；合同价： K = [30，40，50]；标准差Volatility (BS模型)：= [0.2，0.3，0.4]；价格弹性（CEV模型）：= [0，0.25，0.5，0.75]；合同初始的资产价格：= 40；无风险利率：r = 0.05；CEV模型的标准差由如下公式生成（直接将BS、CEV的扩散过程中的方差设为相等）：
运算结果：
五、结论
埃奇沃斯展式近似法对于价外（K >?）以及价内（K >?）的期权的定价有极大地帮助，而对于其他系数情况下有一定的帮助。当定价等价（K =）的期权时，近似法会添加轻微的噪音。所以，该扩展时在本次测试的设计中，运行情况良好，对于BS期权的定价的准确度具有一定程度的提升。
参考文献
[1]Black, F & Scholar, M 1973, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, pp.637～655
[2]Corrado, Charles J & Su 1996, Tie, S&P 500 index option tests of Jarrow and Rudd's approximate option valuation formula, Journal of Futures Markets, Vol. 16, No.6, pp611～629
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