基于马尔可夫链的VSI单侧均值控制图的平均信号时间

来源:用户上传      作者: 杨 露

　　一、引言
　　1924年,美国的休哈特(shewhart)博士提出了统计过程控制的思想和技术。常规的控制图技术是统计过程控制的重要方法之一,主要作用是对生产过程进行监控,判断过程是否受控。均值控制图是应用最广泛的控制图之一。传统控制图都是静态的,其抽样区间固定不变,这种静态控制图通常不能及时发现过程异常。为了弥补这一缺陷,Reynold等提出可变抽样区间均值控制图优化设计方法。可变抽样区间(VSI)均值控制图与固定抽样区间(FSI)均值控制图相比,更为合理。一方面,如果样本点接近控制限,那么其后的样本点有较大可能超出控制限,这时为了及时发现过程的变化,应提早抽取下一个样本;另一方面,如果样本点靠近目标值,可认为此时过程比较稳定,则等待较长时间抽取下一个样本点。平均链长(ARL)可以用来衡量FSI控制图的效率,但在VSI中,发信号前的平均时间更为重要。张维铭(1999)研究了可变抽样区间的均值-方差控制图的平均链长,并与固定抽样区间控制图做了比较。张维铭(2002)在文的基础上对可变抽样区间单边标准差图、极差图、不合格品数图作了研究,计算了这三个图发信号的平均时间,并同固定抽样区间的控制图作了比较。所设计的控制图能够缩短过程时空时间从而减少不合格品数。解顺强[4]同样对单侧均值控制图的平均链长作了研究和比较。总的看来,国内外主要研究了可变抽样的平均链长,以此作为衡量控制图效率的标准,但对于可变抽样控制图来说,因为抽样频率不固定,发信号的时间不是发信号的样本数的常数倍,因此用平均链长来评价此类控制图不能完全刻画出控制图的优劣,需要用发信号的平均时间来描述。本文利用马尔可夫链理论结合矩阵知识推导出ARL,进一步给出发信号前的平均时间,用来更为准确地衡量控制图的效率。
　　二、VSI单侧均值控制图的描述
　　为方便起见,本文仅对单侧上限情况进行讨论,单侧下限情况可以类似推出。设质量特性X服从正态分布N(μ,σ2)。当过程处于受控状态时,μ=μ0,σ=σ0。当过程发生异常时,μ=μ1,σ=σ1。在上限(UCL)和中心线(CL)之间加一条警戒上限(UWL),将受控区域分成两个部分。设VSI单侧均值控制图中 ,,,其中0≤B1≤B2。
　　为了便于表述,将统计量描述在控制图上,其中表示样本均值,则V图的警戒限和上限分别为B1和B2。将区域(-∞,B2)划分为两个区域,即I1=(-∞,B1),I2=[B1,B2]。使用两个区间长度h1和h2,其中H1>H2。每次抽取的样本容量不变,用Vi-1表示取自V的第i-1个样本。若Vi-1位于I1内,则等待较长时间h1抽取第二个样本;若Vi-1位于I2内,则等待较短时间h2抽取第二个样本,及时采取措施消除异常原因。
　　VSI单侧均值控制图由两条水平线(上限和警戒限)将控制图分成三个区域:目标区域T,警戒区域W+,失控区域A+。实际运行中,若有点落在A+,则表示生产过程失控,需要立即停止检修。若有k个连续点落在W+,也表示生产过程失控,设该状态为A’+,此时同样应对过程检修。
　　三、VSI单侧均值控制图的平均链长
　　VSI单侧均值控制图的链长是指图形发信号前抽取的样本数,平均链长(ARL)是图形发信号之前抽取的样本数的期望。
　　1.k=2时的ARL
　　记,其中是X的样本均值,且。定义:
　　状态1:;状态2:;状态3:连续两次,即;状态4:。
　　其中,状态3和状态4为吸收态。显而易见,将来的状态仅依赖于前一状态所处的位置,而与之前的状态无关,所以它是马尔可夫链。一步转移概率矩阵为:四、 VSI单侧均值控制图的平均时间
　　在使用FSI时,时间区间长度乘以发信号前的样本数就是发信号的时间,控制图的平均时间就是时间区间长度乘以发信号前的期望样本数(ARL)。对于VSI图,因为抽样频率不固定,依赖于μ或σ的值,发信号的时间不是发信号的样本数的常数倍,因此用平均链长来评价此类控制图不能完全刻画出控制图的优劣,需要用发信号的平均时间来描述。
　　发信号的时间T为过程从时间0开始一直到图形发信号的时间。发信号的平均时间E(T)是发信号时间T的期望,是参数μ的函数。当μ=μ0时,E(T)应该很大,使得误警报率很小;当μ=μ1时,E(T)应该很小,使得过程异常能及时发现。设N为发信号前的样本数,由式(1)知 (2)
　　设T*为发信号的时间,hi为抽取第i个样本前的抽样区间,则 (3)
　　要将VSI图同FSI图作比较,为保证两图的误警报率相等,必须使两图在μ=μ0时平均抽样区间等于固定的抽样区间h0。如果使这两图的控制限一致,当过程平均值为目标值时,VSI单侧均值控制图必须满足:
　　h0。
　　为了方便,用 表示 。由条件期望公式,可得 (4)
　　若过程平均值为常数,则h1,h2,…,独立同分布。由瓦尔德恒等式,得E(T*)=E(N)・E(hi)设p=P(W∈I1),q=P(W∈I2)那么,所以平均时间为 (5)
　　显然,p和q依赖于μ值。
　　
　　参考文献:
　　[1]Reynolds, M.R.Jr, Amin, R.W., Arnold,J.C., and Nachlas, J.A., X-bar charts with variable sampling intervals[J].Technometrics,30(1988),181～192
　　[2]张维铭:可变抽样区间的 控制图[J].浙江丝绸工学院学报,1999,16(1):54～60
　　[3]张维铭:可变抽样区间的单边控制图[J].数理统计与管理,2002,21(6):42～46
　　[4]解顺强 张兰霞等:基于马尔科夫链理论的带警戒限的单侧均值控制图的平均链长[J].河北科技师范学院学报,2006,20(3):33～36
　　[5]Cinlar E. Introduction to stochastic process [M].Englewood Cliffs N J: Prentice-Hall Inc, 1975
　　[6]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].高等教育出版社,2003

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