基于均值――VAR的投资组合模型
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[摘 要] 本文对Markowitz投资组合模型的缺陷进行简要分析与概括,利用均值-VAR模型将VAR约束引入Markowitz 投资组合理论中,使用VAR代替收益率方差来度量风险,建立基于VAR约束下的投资组合模型。
[关键词] VAR Markowitz 投资组合
一、Markowitz证券投资组合理论概述
1.证券组合的收益―风险衡量与Markowitz理论假设条件
设一投资组合具有n种证券,其收益率分别为r1,r2……rn,用向量表示为r=(r1,r2……rn)T,期望值向量E(r)=(u1,u2……un)T反映了各种证券的期望收益率,方差δ2i=D(r1)反映了第i种证券的风险,协方差δij=δji=cov(ri,rj)反映了第i种证券与第j种证券收益率的相关系数(i,j;1、2……n),V=(δij)为r的协方差阵。X=(x1,x2……xn)T表示组合证券投资比例向量,满足enT=1,其中en=(1,1……1)T为元素全为1的n维列向量。组合证券投资的收益率为R=rTX=∑xiri。则投资组合的期望收益率m=E(R)=UTX,投资组合的风险(方差)δ2=D(R)=∑∑XiXjδij=XTVX。
马科维茨证券组合理论认为:投资者进行决策时总希望尽可能小的风险获得尽可能大的收益,或在收益率一定的情况下,尽可能降低风险,即研究在满足预期收益率m≥m0的情况下,使其风险最小;或在满足既定风险δ2≤δ02的情况下,使其收益最大,也即通过下面模型(A)或(B)来进行证券组合投资决策。
模型(A): minδ2=XTVX
S.t.uTx≥m0
X≥0
模型(B): max m=uTx
S.t.XTVX≤δ02
X≥0
Markowitz组合投资的定量模型是建立在一系列严格的假设条件基础之上的,主要包括:
1.证券市场是有效的,证券的价格反映了证券的内在经济价值,每个投资者都掌握了充分的信息,了解每种证券的期望收益率及标准差,是价格接受者。投资者可以无限借入资金,也就是说投资者资金量无限大;并且税收和交易成本不予考虑。
2.证券投资者的目标是:在给定的风险水平上收益最大,或在给定的收益水平上风险最低,就是说,投资者都是厌恶风险的。
3.投资者以期望收益率来衡量未来实际收益率的总体水平, 以收益率的方差来衡量收益的风险性,因而投资者在决策中只关心投资的收益率和方差,如果要他们选择风险(方差)较高的方案,他们都要求有额外的收益率作为补偿。
4.投资者追求其每期财富期望效用的极大化,投资者具有单周期视野,所有Xi是非负的,即不允许买空与卖空。
5.每种证券的收益率都服从正态分布;证券具有无限可分性,也就是说投资者必要的话可以购买部分股权;各种证券的收益率之间有一定的相关性,它们之间的相关程度可以用相关系数或者收益率之间的协方差来表示。
二、Markowitz 的均值――方差模型的缺陷
Markowitz最优资产组合选择的均值-方差模型,是用于估计投资者投资组合风险与收益的一种有力的工具。但由于其采用的均值――方差模型存在着以下缺陷:
1.均值――方差模型利用方差来衡量投资风险,即预期收益相对于平均收益的离散程度越大,风险也就越大。然而不符合实际情况,因为现实情况中,如果投资收益超出平均收益越多,投资者应该更倾向于高的投资收益,而不是因为由此引起的方差(风险)越大而厌恶它,从而不能使组合优化达到最佳。
2.均值――方差模型未能提供衡量投资者风险厌恶程度的指标。投资者不能够根据自己的风险厌恶来使自己的组合达到最佳,不同偏好的投资者可能具有不同的衡量标准,其效用函数不同,拥有不同的风险测度,Marlowitz均值―方差模型仅仅是效用函数的特例。据研究,只有证券收益率服从正态分布条件,方差才是风险的有效测度。然而根据对美、日证券业人员的调查结果,投资者对风险、收益的理解不对称,更谈不上均匀分布在均值左右,而统计数据也表明r1并不一定服从正态分布,因而选择何种度量风险的测度标准,对投资组合的证券及比例的选择尤为重要。
3.Markowitz根据以往各种证券之间的关联方式和程度推测它们未来的关联情况。但在现实中,由于投资者之间的博弈的影响,证券之间的关联情况并非稳定常态,而是常常发生较大的变化和震荡。这使得通过以往的数据计算出来的证券收益率的协方差矩阵未必能够代表未来的情况。
二、引入VAR代替方差后的修正――基于Markowitz的均值-VAR组合模型
1.VAR模型
VAR作为市场风险测定和管理的一种工具,由J. P. Morgan 最先提出,指的是“在正常的市场条件下,给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失。” 其在数学上表示为投资工具或组合的损益分布( P&L distribution) 的α分位数(α-quantile) ,相应的表达式为Pr(-ΔpΔt≥VAR)=α(ΔpΔt表示组合P在Δt持有期内市场价值变化。)
VAR模型提出的最初,仅仅用于度量市场风险。但经过长期应用和发展,该模型已经逐渐扩展到信用风险、交易风险等多种风险的管理,成为目前金融界进行风险组合管理的一个重要方法。将VAR方法引入Markowitz组合投资理论的研究,在一定程度上能够弥补了投资组合理论在风险度量上的不足。对此,可以在均值-方差模型的基础上引进VAR 约束,建立基于VAR约束下的组合优化模型。
2.VAR 约束下的组合优化模型――均值-VAR模型
均值-VAR模型,指的是在均值-方差模型的基础上,即寻找在给定的收益约束下,使组合的VAR最小的投资组合。模型内容为:
(1)当组合的收益服从正态分布时,均值-VAR 有效集是均值-方差有效集的子集,因此均值-VAR 有效集可能为空。对于正态分布,使用均值-VAR 方法与期望效用最大化模型得到的结果一致(或至少近似一致)。
(2)假定具有均值-方差偏好的投资者在组合VAR 小于或等于V ∈R 的限制下选择投资组合,则可以得到VAR 约束下的组合优化模型为:
其中,c为置信水平,c=1-α是给定的VAR 值。给定一持有期,令置信水平下某风险组合的VAR 为F(-v)=1-c的收益率v,F(*) 是给定期末组合收益率的累积分布函数。对于任意c,c*∈(0,∞)且Ф(-c*)=1-c,Ф(*)是标准正态累积分布函数。在证券回报率为正态分布情况下,根据大数定理,式Prob(rp<-VAR) ≤1-c可转化为:
VAR=V(c,rp)=Ф-1(c)σ(rp)-E(rp)
此时VAR 约束变为:
Ф-1(c)σ(rp)-E(rp)=V(2)
显然,VAR 约束线是一条斜率为Ф-1(c),截距为-V的一条直线。此时原式组变形为:
即得到了VAR 约束下的组合优化模型。
三、引入VAR约束之后投资组合选择的影响因素
由于VAR 的计算结果受收益率分布及给定置信水平的影响,所以利用VAR代替方差,建立最优投资分配模型后,投资组合的选择也不再仅仅受投资者的风险规避度影响,而且还受到计算VAR 时置信水平的选择以及VAR 约束值的大小的影响。
1.VAR具有非凸及非次可加性,因此当投资组合收益的分布不服从正态或对数正态分布时,配置最优投资组合时,使用VAR度量风险会产生较大困难。
2.置信水平越高,表明投资者越厌恶风险,估计的风险也越大,导致最终的投资分配方案趋于保守化。
四、总结
基于VAR 风险测度的最优投资分配模型相对于均值-方差模型来说,考虑到了投资者的风险厌恶程度,因此更具有现实意义。VAR已经被越来越多的金融机构VAR 采用作为风险限额,以测量市场风险,同时也为监管当局使用以确定风险资本金的依据。因此,金融机构及其业务部门投资选择时往往需要满足VAR 的约束条件,加之 VAR 是在一定置信水平之下即将面临的最大损失值,从而提供了一种反映投资者风险承受能力的指标,使得投资者能选择适合自己风险偏好的组合优化模型。
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