差分方程在经济分析中的应用
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作者: 汤茂林
[摘 要] 动态系统中变量间的关系往往表作一个（组）微分方程或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的是连续变量，而后者处理的则是依次取非负整数的离散变量，这两类方程在经济研究中有着重要的应用。本文着重介绍差分方程在经济分析中的应用。
[关键词] 差分方程 存(贷)款 消费 供需 数学模型
在经济分析中往往需要寻找与问题有关的变量之间的函数关系，这类问题可用微分方程来解决，但是，许多实际问题中，数据大多是按时间间隔周期统计，因此，有关变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系和变化规律呢?差分方程则是研究这类离散型数学问题的有力工具。
一、差分方程简介
定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程,一般形式为F(χ,yχ,yχ+1,…,yχ+n)=0形如
yχ+1-ayχ=f(χ)(a≠0为常数)（1）
当f(χ)≡0，则yχ+1-ayχ=0 (2）
(1)式称为一阶常系数非齐次线性差分方程，(2)式称为一阶常系数齐次线性差分方程。对应于方程(2)的特征方程为λχ+1-aλχ=0，即λ-a=0，而λ=a为特征方程的根(简称特征根）,从而Yχ=caχ(C为任意常数)是齐次方程(2)的通解。对于方程(1)设特解为Y*χ,若f(χ)=Pn(χ),则方程(1)具有形如Y*χ=χkQn(χ)的特解,其中Qn(χ)是与Pn(χ)同次的待定多项式，而K的值由如下确定；
(1)若1不是特征方程的根,k=0,（2)若1是特征方程的根,k=-1故方程(1)的通解为yχ=Y*χ+Yχ
若f(χ)=μχPn(χ)型,此时方程(1)为yχ+1-ayχ=μχPn(χ)作变换令yχ=μχZχ则原方程为μZχ+1-aZχ=Pn(χ),可得Z*χ,于是Y*χ=μχZ*χ。
二、差分方程应用举例
1.存款模型
例1:设本金为P0,年利率为r,一年后本利和为S1,求n年末的本利和为多少。
解:∵Sn+1=Sn+rSn即Sn+1-(1+r)Sn=0,这是一个一阶常系数齐次线性差分方程,其特征方程为λ-(1+r)=0,解得特征根为λ=1+r,于是齐次线性差分方程的通解为Sn=c(1+r)n,当c=S0时，Sn=S0(1+r)n，这就是初始存款S0，年利为r，按年复利计息，n年末的本利和公式。
2.贷款模型
例2:某房屋总价为a元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r贷款,n年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？
解:设每个月应付χ万元(贷款额为万元）,月利率是,第一个月应付利息为;,第二个月应付利息为;
于是类推可得;,即这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，其对应的齐次线性差分方程的特征方程为,所以特征根为，其对应的齐次线性差分方程的通解为;。
由于1不是特征方程的根，于是令Y*t=a，代入原方程得,即χ=a,于是Y*t=χ，故原方程的通解为，当时，得，所以原方程满足初始条件的特解为
于是n年利息之和为
上式中12nχ为还款总数，贷
款数,12nχ-是利息I。
故
即：
每月还款额=贷款本金×
这就是平均每月偿还贷款本金和利息的计算公式。而利息I=12nχ-，即，
利息=每月还款额×贷款期数-贷款本金
3.消费模型
例3:设yt为t期国民收入,Ct为t期消费，I为投资(各期相同），设三者有关系yt=Ct+I。
Ct=ayt-1+β,且已知t=0时，yt=y0其中0＜a＜1，β＞0
试求yt和Ct。
解:由yt＝Ct＋I，Ct=ayt-1+β得yt-ayt-1=β+I这是一个常系数非齐次线性差分方程，其对应的齐次线性差分方程的特征方程为λ-a=0,得λ=a,于是方程的通解为Yt=Cat，由于1不是特征根，于是令Y*t=a,代入原方程得，因此，原方程的通解为，又由于t=0时，yt=y0求得，于是得到,上式即为t期国民收入随时间t变化的规律。从而
4.供需模型
例4:某种商品t时期的供给量St与需求量Dt都是这一期价格Pi的线性模型;
St=-a+bpt(a,b＞0），Dt=C-dpt，(c,d＞0），设t时期的价格pt由t-1时期的价格Pt-1与供给量及需求量之差St-1-Dt-1按下述关系;Pt=Pt-1-λ(St-1-Dt-1)所确定,（其中λ为常量）,即Pt-[1-λ(b-d)]Pt-1=λ(a+c)，
(1)求供需相等时的价格P0(称为均衡价格）。
（2)求商品的价格随时间的变化规律。
解:(1)由St=Dt,于是P0=
（2)由题设可得Pt-[1-λ(b+d）]Pt-1=λ(a+c)这是一个常系数非齐次线性差分方程,其对应的齐次方程的通解为Pt=A[1-λ(b+d)]t(其中A为任意常数）,再求得非齐次方程的一个特解为P*t=,从而原方程的通解为Pt=+A[1-λ(b+d)]t这就是商品的价格随时间t的变化规律。
参考文献:
[1]吴传生:经济数学―微积分 北京 高等教育出版社,2003.6
[2]赵树源 微积分:北京 中国人民大学出版社1987.12
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