证券组合投资模型优化

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　　[摘要] 以Markowitz证券组合投资理论为基础，对于几种不同证券组合投资模型分别考虑了证券组合的收益，风险，交易费等因素条件下对模型进行了优化，并对文中模型做了进一步的扩展。为投资者正确选择证券组合投资的最优策略及应用方面提供参考。
　　[关键词] 组合投资 协方关差 投资模型 有效解
　　
　　一、引言
　　
　　众所周知，为了解决单阶段组合投资问题, 美国经济学家Markowitz利用一定时间内的某种证券收益率的数学期望和方差, 分别衡量该种证券的获利能力和风险, 获得了著名的Markowitz均值――方差模型中风险的衡量方法; 但在该模型的风险度量中，将证券的实际收益的不确定性、交易费用、无风险资产等实际因素不加以区分地引入风险评估，使实际收益率不论高于期望收益，还是低于期望收益，都被认为是有相同的风险。而投资活动是一种有偏向性的活动，风险损失主要来源于低于预期收益的那些投资。如果投资收益率超过投资者的预期收益则为风险报酬，投资者并无损失，反而受益。针对Markowitz模型的不足，不少学者给出了证券组合投资的改进模型，如交在期望半方差(E--Sv)风险测度条件下，针对带有交易费的投资组合优化问题进行了研究，提出了一种变形Γ-分布来描述股票的收益，给出了分布中参数的确定方法。运用目标规划的方法建立一种新的证券组合投资诀策模型。而又通过引入衡量投资者风险喜好的风险偏好参数，把区间数线性规划问题转化为确定型参数规划问题。本文通过对几种不同类型的证券组合投资模型分别考虑了收益、风险、交易费等因素条件下的优化，并对文献中的模型做了一般扩展与分析讨论，得到最优化策略的调整方案，使模型更符合实际。
　　
　　二、模型介绍
　　
　　1.证券组合投资的Γ――分布模型
　　设投资者选定n种风险证券进行投资，它们的收益率γ(1≤i≤n )是随机变量，令其分别服从Γ-分布, 即:
　　（1）
　　其中α＞0，β＞0 。由于
　　
　　取最小值, 可以确定αi,βi,k,kj分别表示子样中收益率落在 [-1,y1],[yj-1,yj],[yn-1,∞]上的频数， 在此,y1,y2,…yn为股票(证券)收益率取值区间[-1,∞]上一个分割。于是第i种股票的期望收益率为：
　　(2)
　　以及收益率方差为:
　　 (3)
　　相应地, 第i,j两支证券的收益率的协方差为:
　　 (4)
　　令
　　 (5)
　　设E[（y-p）]2和E[（y+p+1）]2表示第P种证券投资组合收益率γp的两个半方差(给出表达式)，分别记为:D-（γp）和D+（γp），则有
　　(6)
　　 (7)
　　由此有:
　　 (8)
　　i,j两种股票(证券)收益率的半协方差为:
　　(10)
　　则有:
　　(11)
　　 (12)
　　 Wi(i=1,2,…n)为第i种证券投资权因子，用D-(γp)衡量证券(股票)组合投资的风险，得到期望半方差风险度量下的证券组合模型(MOPI)
　　
　　2.证券组合投资的目标规划――GP模型
　　设投资者选择了一种无风险和n种有风险的证券进行组合投资，用ROt表示无风险证券S0在特有期t内的投资收益率, 用Rit表示第i种有风险证券Si在特有期t内现投资收益率,在此1≤i≤n，1≤t≤T, 用x0t,x1t分别表示无风险证券和第i种风险证券Si所占总投资的比例，则n+1维向量:xit=x(x0t,x1t,xnt)为投资者在持有期内的一种证券投资组合，且，用σ表示第i收益率的标准方差，ρij表示证券i与证券j的相关系数，σij表示证券i与证券j收益率的协方差。于是，n+1种证券组合的期望收益和方差分别是:
　　(13)
　　(14)
　　本文考虑的问题是要求证券组合投资满足:(1)投资者尽量将全部资金投入到这n+1种资产中;(2)使总收益尽可能高(P2 ?),(3)风险尽可能小(P3)。w+i,w-i是对应偏差变量d-i,d+id在Pi层的权因子，证券组合投资的目标规划―GP模型(MOPⅡ)为:
　　
　　
　　其中d+1，d-1 分别表示投资额的正负偏差;d+2,d-2分别表示高于、低于预期收益率Re;d+3,d-3分别表示高于可承受、少于可承受的风险率;σe2表示期望方差。
　　3.证券组合投资的区间数线性规划模型
　　设投资者选择了一种无风险证券和n种有风险证券进行组合投资，分别以R0t，Rit表示无风险证券和第i种有风险证券Si在t持有期内的投资收益率，以x0t,xit分别表示无风险证券S0和第i种风险证券Si不所占总投资的比例，在此,1≤i≤n,1≤t≤T,则n+1维向量Xt=(x0t,x1t,…xnt)为投资者持有n+1种证券的投资组合，且组合投资模型为(MOPIII):
　　
　　其中,表示持有期t内第i种风险证券获取收益的范围;表示证券风险的控制范围，即投资者对组合风险的承受限度;表示第i种风险证券Si风险损失率的范围，即在一个投资周期内资产在发生风险时，可能的损失在总投资中所占的百分比。
　　
　　三、考虑交易费用下的组合投资模型
　　
　　1.推广的Γ――分布模型
　　一般情况下，收益越大风险越大，也就是说投资者愿意以冒一定风险的代价来获得高的投资收益，风险能够低于他期望的风险率即可。对于总收益Rt的期望总是希望尽可能的高，远远超过预期的收益率Re。因而必须极小化其他因子,如β或qit,d+3等。设第i种证券的交易费，1≤i≤n, 其中≥0表示买入， ＝0表示不交易，＜0表示卖出。令Bi为第i种证券交易的交易费率，Bi≥0;用Cit=Bi表示第i种证券的交易费。所有风险证券在持有期内t的总交易费用为：
　　
　　由于(MOPII)中的第三个约束条件是非线性的，求解较为困难，我们试图取代此条件。为此设β是第i种证券的β值，(β值作为风险衡量的影子指标)由威廉・F・夏普的资本资产定价(CAPM)模型可知，回归模型，
　　(20)
　　其中αit为第i种种证券的额外收益率指标εi不为残值收益率。
　　2.推广的GP模型
　　由最小二乘法估计可得，其中Cov(Ri.Rt)描述了第i种证券收益与总收益之间的相互变动联系，而σ2描述了整个收益的波动状况，从而能用βit反映第i种证券的风险程度，于是:
　　 （21）
　　设βe为预期风险，d-3,d+3表示风险的负正偏差值，w+4,w-4为对应偏差变量d+3+k,d-3+k在P4层的权因子，从而得到MOPⅡ的推广GP模型MOPⅡ2为：
　　
　　四、模型的讨论
　　
　　由于证券交易的频率增高，考虑到交易费在证券组合投资中的影响，由约束条件进一步完善和线性化，从而使模型MOPI1化为具有凸性条件下的二次规划问题，于是可用有效解或对偶方法求解出满意解（最优有效解），对于模型MOPⅡ2,可将其化为凸约束条件下多目标线性规化问题;从理论上可论证其最优有效解的存在性。 对于MOPⅢ3模型，可分别化为最大范围约束解和最小范围约束解。此模型可进一步推广为带s个目标约束和k个优先级目标及权因子的线性目标规划数学模型为：
　　
　　其中，P1，P2，…PK――目标的优先因子，是表示各个层次目标重要性程度的定量描述;di+,di-――正负偏差变量;w+m,w-m为偏差变量di+,di-在Pn层的权因子，n=1,2,…k. 总之，使优化后的模型存在满意解。
　　
　　五、结束语
　　
　　证券组合投资的模型是十分丰富的，若我们将收益、风险、交易费等因素条件下对模型进行了优化后，就可从中选择比较适合实际的优化模型，从而对各种模型定性和定量分析，并找出实际满意解(有效解),为证券组合投资作出科学决策和有效前沿提供数据，把握买入哪些证券，卖出哪些证券，创造良好的稳定的投资环境，为投资者提供参考价值。
　　
　　参考文献:
　　[1]Markowitz H.Portfolio Selection[J].Journal of Finance 1952.7:77～91
　　[2]Markowitz H.Portfolio Selection:Efficient Dirersification of lnvestments[M].New.york wiley 1959
　　[3]汪温泉俞雪飞潘德惠:证券投资基金的一种投资组合选择模型，系统工程学报2003.6.279~282
　　[4]胡达沙吴炜:目标规划在证券组合投资中的应用运筹与管理2004.6.116～119
　　
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