浅谈轨迹方程的求解
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摘要：解析几何是高中生难以攻克的一种题，大部分同学在考试时会选择只解答只要求求出轨迹方程的第一问，此文章介绍了几种求解轨迹方程的方法，可供借鉴和采纳。
关键词：轨迹方程;求解方法;求解步骤;经验总结
轨迹方程在高中阶段的学习中的重要性不言而喻，其能够较好的锻炼学生的逻辑思维能力、解题能力，对于学生数学综合能力的提升有着较好的帮助。但是结合当前高中数学轨迹方程学习的实际情况来看，学生要想真正的掌握和理解轨迹方程的求解方法及内容也并非是一朝一夕的事情，其需要学生不断的探索和积累，才能真正的掌握这些知识。
一、几种常见轨迹方程求解方法
（一）直接法。直接法是轨迹方程求解的常见方法之一。在解决轨迹方程时，如果动点满足的几何条件本身是一些几何量的灯亮关系或这些几何条件简单明了且易于表达，因此可以将这种关系转换为x，y的等式，这样就能够得到曲线的估计方程。由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，因此一般被称之为直接法，这种方法主要适用于一些比较简单的轨迹方程。
（二）定义法。所谓的定义法是结合轨迹方程的定义，对曲线方程进行求解。当地动点的轨迹符合轨迹方程的某一基本轨迹的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程解。
（三）相关点法（代换法、转换法）。在求解轨迹方程的过程中，解决某些问题时，如果其动点满足的条件不便使用等式列出，但是其动点是随着另一动点（其一般也被称为相关点）而运动。如果相关点能够满足的条件时可以应用轨迹方程进行分析的，则可以应用运用运动坐标表示相关点的坐标，并根据相关点求得动点的轨迹方程，这种求解方法也被称为相关点法或者代换法、转换法。
（四）参数法。在某些时候动点应当满足的几何条件并不容易得出，而且在求解时也没有明显的相关点。但是在进行方程求解时，经过探究可能会发现这个动点的运动经常会受到另一个已知变量的影响，或者是动点坐标（x，y）中的x和y分别随着另一变量的变化而变化，那么在解题的时候就可以将这个变量称之为参数，并且可以结合相应的参数，建立轨迹的参数方程。在轨迹方程求解过程中，这种方法也被称之为参数法。解题时，如果点需要得到轨迹的参数方程，一般在选择参数变量时要从多方面考虑，其应当具有某种物理或集合的性质，如时间、速度和角度等，在选择参数时还应当要注意参数的取值范围对动点的坐标取值范围的影响。
二、解题步骤
在求解这类题时，可以采取以下这几个步骤。
（一）建。即根据题意建立最便于自己求解的坐标系。（多数情况下题目中已设出相应的坐标系，只有少数题目需要自己建立坐标系）
（二）设。设这个动点的坐标为（x，y），要时刻牢记此点的横纵坐标为变量，不可与题中其他字母混淆。
（三）现（限）。这指的是题目中关于动点运动的限制条件，并据此列出等式。
（四）代。将已设出的动点的横纵坐标代人步骤三列出的等式中。
（五）化。这指的是将等式化简，最后会得出一个关于x和y的关系式。（这通常是最复杂的一步，极其考验运算能力，运算时定要仔细）
把这五个步骤连成“建设现代化”，可以帮助我们记忆。
下面举两个例题进行具体分析。
例1.已知有一动点P，与点A（1，0），B（-1，0）的连线的斜率的积为四分之一，求P点的运动的轨迹方程。
由于题中已有了相应的坐标系，所以不需要我们建立。
设：设点P的坐标为（x，y） 题中的限制条件转化为数学语言即為KPA×KPB=1/4
将动点P的坐标代入其中，得到：
化简得：x2-4y2=1
即一组双曲线（此题多出现在解析几何题的第一问，为了得到的结果多为双曲线，圆，椭圆，抛物线等高中生较为熟悉的曲线的解析式，所以若求出的结果较为复杂或无法转化为自己熟悉的形式，可回头检查自己是否在哪一步出了差错）
例2.已知圆M（x+1）2+y2=9，圆N （x-1）2+y2=1，有一动圆P与圆M内切，与圆N外切，求动圆圆心P运动的轨迹方程。
设圆P半径为r限制条件：r=3-PM r=PN-1
（由于圆P与圆M内切，所以圆心距+r=圆M的半径，由于圆P与圆N内切，所以圆心距=圆P的半径+圆N的半径）
两式相减得PN+PM=4（p到点N与点M的距离的和为定值，这符合椭圆定义，所以P的运动曲线为以点M（-1，0），点N（1，0）为焦点的椭圆）
所以p的轨迹方程为：x2/4+y2/3=1
通过此题，可以得出经验：并非所有题目都要严格按照题目所给出的限制条件一步步化简，若是此题将限制条件按步骤化简，将很难得出结果，若是牢记了圆锥曲线的定义，做题时将会事半功倍。所以，做题时若是迟迟没有思路或式子越化越复杂，可以考虑定义法，这往往做起来很简便。
三、结语
轨迹方程的求解是有规律可寻的，所以在考试时不要有畏难情绪，把能够得到的分得到，为第二问的“爬坡”做好基础。
参考文献
[1]黄荣清.浅谈高中数学中轨迹方程的求解方法[J].基础教育论坛，2012（19）：28-30.
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