深度学习视角下小学数学概念教学策略
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摘 要 数学概念是数学研究的基础，小学数学概念的理解和掌握程度，將会对整个小学数学学习内容产生深远的、重要的影响。本文结合深度学习理念从概念产生的必要性、概念的表述、课堂问题的设计、概念的内涵与外延四个方面提出了小学数学概念教学的策略，并结合教学案例进行说明。指导教师在概念教学中，怎样依据小学生的年龄特点和认知规律，使其真正经历数学概念的产生、建立、深化、运用等过程，获得真正准确、清晰和抽象的概念，对概念进行深入理解。
关键词 深度学习 小学数学 概念教学
中图分类号：G424 文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.04.065
Abstract Mathematical concepts are the basis of mathematical research. The understanding and mastery of mathematical concepts in primary schools will have a profound and important impact on the whole content of primary school mathematics learning. Combining with the concept of in-depth learning， this paper puts forward the strategies of teaching mathematical concepts in elementary schools from four aspects： the necessity of concepts， the expression of concepts， the design of classroom problems， the connotation and extension of concepts， and illustrates them with teaching cases. In conceptual teaching， how can the instructor really experience the process of the generation， establishment， deepening and application of mathematical concepts according to pupils' age characteristics and cognitive rules， so as to obtain truly accurate， clear and abstract concepts， and to have a thorough understanding of concepts.
Keywords deep learning; primary mathematics; concept teaching
数学概念是人脑对现实的数量关系和空间形式的本质特征的一种反应形式。小学数学深度是以数学学科核心内容为载体，以发展学生核心素养为目标，以挖掘数学内容本质和数学思想为根本，基于学生深度探究和理解的学习。[1]下面将结合深度学习理念提出小学数学概念教学策略，以求依据小学生的认知规律使其经历数学概念的产生、建立、深化、运用等过程，使学生能获得真正准确、清晰和抽象的概念，对概念进行深入的理解。
1 体现概念产生的必要性——深度思考
数学概念是在数学的历史长河中逐步发展、变化最终保留下来的。每个数学概念的产生和使用有其自身的价值和必要。例如数的扩充一方面是现实生活的需要，例如：人们为了表示猎物的多少等慢慢地产生了自然数;表示“半块月饼”不能用自然数表示，进而产生了分数;当表示零上、盈利、向东时用正数，那么表示零下、亏欠、向西的时就产生了负数。数的扩充另一方面是数的运算的需要，任何两个自然数相加，结果仍然是自然数，但是任何两个自然数相减，结果却不一定是自然数，需要扩充到负数。同样，一个整数乘一个整数，结果还是整数，但是一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是又有了分数。[2]
但是在目前的概念教学中教师往往不关注概念产生的必要性，例如，在教学“比的认识”一课时，教材中定义为“两个数相除又叫做这两个数的比”，很多教师在教学中都把“比”等同于“除法”进行教学。在课堂教学中遇到学生提出的“既然比是除法为什么还要学习比？”诸如此类的问题也无法解答。因此，在教学中让学生感受到概念产生的必要性是十分重要的，这有益于学生对概念的深度思考。
例如，《分数的初步认识》一课，我们可以创设这样的生活情境让学生感悟“分数”产生的必要性。首先，把4个苹果平均分给2个人，每人分到2个苹果，用数“2”来表示分到的结果。其次，把2个苹果平均分给2个人，每人分到1个苹果，用数“1”来表示分到的结果。最后，把1个苹果平均分给2个人，每人分到半个苹果，思考怎样表示半个苹果，可以用图形、符号或者数，而数是最简洁的表述方式，进而让学生体会分数产生的必要性。
再例如《用数对确定位置》一课的教学，可以这样创设情境，首先让学生表示只有一行的某个学生的位置，学生可以用已经学过的数线的知识来描述位置，然后再让学生表示几行几列中某个学生的位置，那么就需要从一维过渡到二维，要考虑用平面直角坐标系来确定位置，进而感受“数对”这个概念产生的必要性。 2 操作与表述相结合——深度感知
小学数学教材中对概念的定义，在不同的学段分别用了描述式和定义式。不管哪种表达方式，概念的形成都要用语言概括。如果学生对概念的表达是建立在背诵的基础之上，没有经历用自己的语言尝试概括的过程，这样的识记也只是机械记忆，而非意义识记，这样的理解也只能是暂时的理解，随着时间的推移会很快淡忘。[3]
例如《认识面积》一课，教师在教学时往往从物体表面或封闭图形的大小抽象出面积的概念后，就直接进入面积的比较教学。没有让学生用自己的语言再对概念进行描述。这样的做法会导致学生的面积概念的体验不深刻。再例如“圆的直径”的教学，教师一般直接介绍圆的直径是通过圆心且两个端点在圆上的线段。然后继续探究同一个圆内直径的关系。这样的教学忽略了概念的语言表述，导致学生对概念的理解只停留于表面，并没有触及本质。
概念形成阶段，是由具体思维向抽象思维的过渡，教师在给学生提供丰富素材的基础上，可以引导学生通过观察、思考，用自己的语言尝试描述概念。起初学生的语言可能不够规范和精准，但经过独立的思考、经过与同伴的交流，学生会对概念有深度的感知，慢慢能够形成较为规范的语言描述。
在学习面积概念时，建议让学生用自己的语言，边摸边说一说它们理解的面积。如：“桌面的大小就是桌面的面积”、“黑板面的大小就是黑板面的面积”、“圆的大小就是圆的面积”等等，再过渡到“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积”。学习直径的概念时，让学生用自己的语言描述什么是直径“穿过圆心，两头都不出头”、“经过圆心，线段的两头正好在圆的边上”等等，虽然这些语言并不严格，但体现了学生对概念思考和个性化的理解。张奠宙教授提出“充分运用直觉学习数学，是数学学习，特别是小学数学学习的一条准则。”小学数学不要过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的数学语言尝试诠释对数学意义的真正理解。
3 设计层层递进的教学问题——深度探究
教学问题的设计直接影响着学生课堂学习的探究过程，设计丰富的、有层次的、逐步深入的、有挑战性的教学问题，更为有利于学生对概念的深度探究。
例如《分数的初步认识》一课可以设计一系列这样的教学问题，引导学生逐步深度探究概念。问题一：“怎样表示苹果的个数？”让学生经历从整数到非整数表示苹果个数的过渡过程，在此过程中，允许学生用个性化的方法，如实物、图形等表示非整数个苹果，即苹果的“一半”，再优化到数学上的分数“”表示，让学生逐步感受分数产生的必要性。问题二：“涂出不同图形的，观察并思考你发现了什么？”此环节渗透了分数相对性的教学，让学生比较同一个图形的，会发现面积相同但形状可能不同，比较不同图形的，会发现形状、大小可能都不相同等。问题三：“表示三种给定图形的几分之一（圆形、正方形、长方形），你发现了什么？”此环节首先让学生用分数表示老师折出的图形（），然后让学生独立创造几分之一，再结合图示说一说创造出的分数的含义及发现了什么。此问题由过渡到几分之一，丰富了对分数的认识，为进一步探究几分之几准备，同时此环节还可以初步渗透分子为1的分数的大小关系。问题四：“创造几分之几，说一说你对分数的理解”，在创造的几分之一的基础上，进一步创造几分之几，深入对分数的理解，同时还渗透了分数单位的含义。问题五：“古代分数是怎样产生的？”引导学生经历分数真正的产生过程，感受数学文化的魅力，体会数学学习的价值。
本节课通过五个环环相扣、层层递进的问题，引导学生经历了分数概念的产生——建立——深化——应用等过程，帮助学生经历深度探究，逐步理解了分数的含义。
4 关注概念的内涵与外延——深度理解
概念的内涵反映了概念中对象的本质属性，概念的外延包含了某个概念的一切研究对象的范围。在数学概念教学中，有的教师往往认为，揭示了某个数学概念的内涵，就明确了某个数学概念，从而忽视了数学概念外延的教学。[3]而在小学数学概念的学习过程中，学生一般是借助某些特定的对象（即外延中的代表）获得关于概念的感性认识，进而深入研究概念的内涵。如果概念的外延不丰富、不典型，也会影响学生对概念内涵的理解。
例如《认识轴对称图形》一课的教学，学生在第一学段学习轴对称图形，一般教师会从生活中的对称引入，如故宫、埃菲尔铁塔等，或者从对称的文字或图形引入，如对称的喜字、心形图片、小房子图片等等。教师更多的会列举“左右对称”的现象，有的在多个左右对称中加入一个“上下对称”，这样的设计便是重内涵，轻外延的。轴对称图形的概念是：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。它既包括了左右对称，也包括上下对称、斜着的对称等等。在第一学段的学习中忽视对称概念的外延，在第二学段方格纸上画轴对称图形时便会出现这样的问题：左右和上下对称的图形不易出错，而斜着对称的图形容易出错。
概念教学可以选择丰富的外延代表，避免在课堂教学中出现以偏盖全的现象，导致学生将个别实例所具有的性质等同于概念所有外延具有的性质。因此，教师应该对概念外延的种类、结构进行研究，呈现多样性的实例，促进学生准确掌握概念的本质。
例如，北师版五年级上在教学平面图形（三角形、平行四边形、梯形）的底和高时，在理解了底和高的概念后，教师还要尽可能举例涵盖不同类型的三角形、平行四边形和梯形，比如钝角三角形以钝角的一边为底的外高、平行四边形的外高、直角梯形的底和高、斜著呈现的不同图形的底和高等等，丰富学生对底和高的理解。
以上结合深度学习理念，从四个方面提出了小学数学概念教学的策略。深度学习既要基于对学习内容的深入解读，还要基于对学生认知规律的掌握。深度学习注重学习的结果，更注重探究的过程。我们希望通过这样的学习，能够促进学生对数学概念的深度理解和掌握、促进学习能力的提升、促进学科核心素养的发展。
2018年度一般规划课题《深度学习视角下小学数学核心内容教学研究》成果
参考文献
[1] 马云鹏.深度学习背景下小学数学学习内容的组织策略研究[J].课程？教材？教法，2017（4）.
[2] 史宁中.基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013：3-13.
[3] 林武.小学数学概念教学行与思[M].北京：教育科学出版社，2014：77.
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