《高等数学》课程中泰勒公式的应用

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　　摘要：文章首先对泰勒中值定理、泰勒公式的几种形式进行了介绍，其次针对泰勒公式的应用讨论了五个问题，即求极限、证明不等式、求初等函数的幂级数展开式，近似计算及判断广义积分的敛散性.
　　关键词：泰勒公式;极限;不等式; 幂级数;近似计算;广义积分敛散性
　　中图分类号：G642      文献标识码：A
　　文章编号：1009-3044（2019）17-0270-03
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　　1 引言
　　在过去的一个世纪中，科学家们的不懈努力，使得近代数学有了跨越式的发展，其中泰勒公式最初是在1712年由英国数学家布鲁克提出的.泰勒在一封书信提道：将函數展开成无穷级函数的定理是他在微积分领域最辉煌功绩.定理的内容通常表述为：某点附近的函数可以通过该点处的函数值和无穷多个导数来表示。
　　泰勒公式在高等数学中具有不可或缺的地位，在数学分析中也占有一席之地.对于一些不容易处理的复杂函数，我们更希望用一些简单的多项式来近似代替函数.而对于具有较高精确度，且不得不考虑函数误差的情况，用高次多项式来近似代替函数则成了一种必要方法，并列出误差的表达公式.泰勒公式经常被应用于很多问题的解决.本文将重点介绍泰勒公式的内容及其应用，如何将泰勒公式应用于极限，证明不等式，并写出初等函数的幂级数展开式，近似计算和广义积分的敛散性的判断，旨在加深对泰勒公式的认知。
　　2 预备知识
　　2.1 泰勒中值定理
　　如果函数F（x）在[x0]存在的某开区间（a，b）内具有最多（n+1）阶的导数，则对任意一个[x?]（a，b），都有：
　　3.2 求极限
　　我们在求解一个三角函数与幂函数复合的例子里，用等价无穷小等方法进行化简求解可能很困难，所以可用泰勒公式来进行化简求解，更方便和容易进行化简和求解。
　　例  利用泰勒公式求下列极限：
　　那么问题来了，不能没有尽头的展开，展开多少项才会合适呢？ 经过观察可以得出结果：使用泰勒公式展开的阶数差：分子分母同时出现不为0（消不掉）的最小次数[n，这样低于n]阶的项都消掉了，而高于[n]阶的项极限都分0，高阶无穷小的出现不影响极限的运算，高阶无穷小项的极限也为0.因此，据分析上述函数展开至第二项即可.即：
　　3.3 进行近似计算
　　泰勒公式善于求出某不能[1]求出[2]其精确值而只能求出近似值的算术式.而且在利用泰勒公式求近似值时，其余项可以估计出误差。
　　4结语
　　如何用简单的函数代替复杂的函数，是高等数学中一直研究的问题，多项式是最容易被我们所理解并且熟练掌握的简单函数，用简单的多项式来近似替换复杂的函数也是泰勒公式最具有意义的研究结果，它为我们提供了一个可以将复杂函数转化为简单多项式的条件基础，并给出了误差近似代替项，在不同条件下，误差项又可分为拉格朗日余项和佩亚诺余项，从余项的表达式可以看出，泰勒公式只有在局部小范围内，才具有实际应用的意义。麦克劳林公式是泰勒公式的一个特例，是使用泰勒公式时最常用的形式。掌握和使用泰勒公式，对解决数学中一系列问题具有重要意义。
　　参考文献：
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　　[2]  陈丽. 关于泰勒公式课堂教学的尝试与体会[J].高等数学研究，2010，13（2）：59-60.
　　[3]  安世全. 泰勒公式及其应用[J]. 高等数学研究，2001，4（3）：26-28.
　　[4]  温少挺，阙凤珍.泰勒公式及其应用技巧[J].数学学习与研究，2016（23）.
　　【通联编辑：光文玲】
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