关于全概率公式与贝叶斯公式的教学探讨
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【摘 要】概率是《概率论与数理统计》这门课程研究的源头问题。本文从学生的生活实例中，引出全概率公式和貝叶斯公式，并加以推导，通过引经据典，对学生进行情感教育，收获了良好的教学效果。
【关键词】概率论与数理统计;全概率公式;贝叶斯公式
中图分类号： G642;O211-4 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）11-0247-002
DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.11.118
【Abstract】Probability is the the study source of probability and？mathematical？statistics？course.In this paper，the author takes examples from students daily life to lead to the Total Probability Formula and the Bayes Formula.Then，the two formulas are analysed. Combining historical allusions with the formulas，moral education has been taken for students，which has achieved an effective teaching result.
【Key words】Probability and Mathematical Statistics; The total probability formula; The Bayes formula
谈论到数学，很多学生认为难学是因为记不住公式，或者说不会运用公式。公式不在于记忆，而在于理解，理解了其中的真谛，自然而然就知道如何使用了。在学生已经有了条件概率的认识基础上，再来学习全概率公式实际上并不困难。文献[1]举了一些学生感兴趣的例题加以讲解，文献[2]从五个方面解释了全概率公式的内涵。然而，对于学生每天的日常生活中的实例研究，以及将概率与历史典故联系起来进行教学的文献还很少。本文从学生的生活实例出发，让学生对新课内容的学习卸下畏难的心理防线，提高学生的学习兴趣，再逐一推导加以运用，再回到生活，让学生体会到数学及来源于生活，而又服务于生活。并运用数学公式解释历史典故，让学生体会到趣味性，同时对学生进行情感教育。
1 抛出问题
校园之大，为了省时和方便，同学们去教学楼上课也开始选择不同的交通工具了。已知李明学生去上课，选择步行，自行车，电动车和校车的概率分别是45%，20%，25%和10%。四种方式出行迟到的概率分别是0.2，0.1，0.05和0.04。请问该同学上课迟到的概率是多少呢？
稍微浏览了书本的学生会看到该公式看上去很复杂，根本不知所云，故产生畏难的情绪。以一道与学生日常生活相关的实例，增加学生的好奇心，学生便很想知道一个人上课迟到的概率到底有多大。激发学生的求知兴趣，引出本节课的课题——全概率公式。学生便会带着目的来听课。
2 剖析问题
在引出全概率公式之前，先了解其有关的预备知A1，A2，A3，A4识，样本空间划分的概念。抽象的概念很容易让学生产生畏难的情绪，先给学生演示一个图。是样本空间Ω中的基本事件，满足两两不不相容，且A1∪A2∪A3∪A4=Ω事件B发生的概率为P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）+P（A4B），而由前一节所学的条件概率公式中的乘法公式可知P（AiB）=P（B|Ai）P（Ai），其中i=1，2，3，4.因此，P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（A3）P（A3）+P（B|A4）P（A4）
这是对于将样本空间Ω分成四个部分的情形，按照这样的方法可以推广到四个以上的情况。从简单的情况出发，避免将一推公式生搬硬套灌输给学生，在理解了简单的推导原理之后，再让学生写出将样本空间Ω分成五个部分的公式，随后让学生写出全概率公式的一般形式。
3 解决问题
学习了全概率公式之后，之前的引例便可迎刃而解了。记“学生步行，骑自行车，骑电动车和乘坐校车”分别为事件Ai，i=1，2，3，4。记“学生迟到”为事件B。则
故由全概率公式可得
即学生迟到的概率为0.126j不凑巧，张华同学今天迟到了，请问他是因为选择了哪一种交通工具呢？由此设问引出接下来要学习的贝叶斯公式（逆概率公式）。
在已知结果的情况下，要寻求发生的原因。只需要将各个原因发生的概率进行对比即可。若事件B已经发生，从图中可以观察到，该事件由4个部分组成，分别是A1B，A2B，A3B，A4，B.并且A1B的面积最大，是不是A1这个原因的可能性最大呢？
分别计算
通过比较得出P（A1|B）的值最大，于是张华同学步行去上课的可能性最大。由此得到贝叶斯公式。
设B为样本空间Ω中的事件，A1，A2，…，An为Ω的一个划分，且P（B）>0，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），则有
4 归纳问题
学生小组讨论得出全概率公式和贝叶斯公式分别如何使用。从引例不难总结出，全概率公式用来“由因求果”，贝叶斯公式用来“执果溯因”，实则是一个百分比问题。学生掌握公式的原理之后，自然也就不会对冗长的公式产生畏惧心理了。
5 应用公式
著名的历史典故“烽火戏诸侯”，该典故讲述的是西周时周幽王，为褒姒一笑，点燃了烽火台，戏弄了诸侯。褒姒看了果然哈哈大笑。幽王很高兴，因而又多次点燃烽火。后来诸侯们都不相信了，也就渐渐不来了。后来犬戎攻破镐京，杀死周幽王，后来周幽王的儿子周平王即位，开始了东周时期。 引导学生用数学知识来解释周幽王是如何失去诸侯们的信任。假设周幽王第一次点燃烽火有无敌国来犯的概率均为0.5，周幽王撒谎时，真有战事的概率为0.15，他说真话是，真有战事的概率为0.9。试解释周幽王是如何失去诸侯信任的。
记事件Ai表示周幽王第i次点燃烽火，无战事，事件B表示周幽王第i次说谎，i=1，2。由题意可知，P（B1）=P（B1）=0.5，P（A1|B1）=0.15，P（A1|B1）=0.85，P（A1|B1）=0.9，P（A1|B1）=0.1。
诸侯第一次受骗的概率P（A1）=P（B1）P（A1|B1）+P（B1）P（A1|B1）
=0.5×0.85+0.5×0.1=0.475
诸侯第一次受骗后，周幽王说谎的概率
诸侯第二次受骗的概率P（A2）=P（B2）P（A2|B2）+P（B2）P（A2|B2）
诸侯第二次受骗后，周幽王说谎的概率
当诸侯两次上当后，在他们心中，周幽王谎称战事的概率达到0.9863，此后，被骗的诸侯只会越来越少，直到真有战事时，诸侯看到烽火也无动于衷。类似的例子还有“狼来了”等，通过概率计算，给学生进行诚信教育。告诫学生不要成为周幽王那样失去信任的人。
6 结束语
事实上，很多的历史故事都蕴含着数学知识，作为教师，要有一双慧眼，挖掘出其中的数学理念。在《概率论与数理统计》的教学中，既传播了中国的传统文化，又让学生轻松地学到了数学知识。同时，平常多跟学生接触，善于发现学生日常生活中的有意思的例子，設计成例题，可以大大增加课堂的趣味性。真正做到教师寓教于乐，学生寓学于乐。
【参考文献】
[1]周游.趣味生动化的全概率公式教学设计研究[J].赤峰学院学报（自然科学版）2017，33（4）：219-221.
[2]王鹏飞.全概率公式的教学研究[J].忻州师范学院学报，2018，34（2）：11-13.
[3]韩旭里，谢永钦.概率论与数理统计[M].北京大学出版社，2018.7.
[4]茆诗松，程依明，濮晓龙.高校概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2004.7.作者简介：郭琴（1989.10—），女，汉族，湖南湘潭人，硕士研究生，邵阳学院理学院，研究学科或方向为大学数学教育和分数阶发展方程的研究。
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