信号与系统分析中直流信号的特殊性探究

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　　摘要：信号分解是线性时不变系统分析的理论基础之一。包含直流信号的一般信号可分解为直流信号与某因果信号之和的形式，且此类信号是时间无限信号。针对连续直流信号，由于其微分后的积分运算无法恢复原信号，因此在应用卷积微积分性质、傅里叶变换时域积分性质、拉普拉斯变换时域积分性质时，需特别注意直流信号的特殊性，不能直接使用上述性质。同理，针对离散直流信号，在应用卷积和的差分求和性质、离散傅里叶变换的时域求和性质时，同样需注意直流信号的特殊性。本文总结了直流信号的各类基本特性，以及在各类应用中的特殊方法，并给出实例说明如何应用上述性质。
　　关键词：直流信号;卷积的微积分性质;傅里叶变换的时域积分性质;拉普拉斯变换的时域积分性质;卷积和的差分求和性质;离散时间傅里叶变换的时域求和性质;信号与系统
　　中图分类号：TN911        文献标识码：A
　　文章编号：1009-3044（2019）21-0259-03
　　开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
　　Abstract： Signal decomposition is one of the theoretical fundamentals in time-invariant system analysis. Signal which contain DC signal can be decomposed into DC signal and causal signal. And， the signal is time infinite signal. When the differential or difference of DC signal is integrated or summed， the result is not the original signal. Therefore this results in particularity for continuous DC signal when differential and integration property of convolution， time-domain integration property of Fourier transform and time-domain integration property of Laplace transform are applied. It is same for discrete DC signal when applying difference and summation property of convolution， as well as time-domain summation property of DTFT. Those mentioned properties cannot be directly used for DC signal. Several basic properties of DC signal are summarized and examples are given to demonstrate how to apply them.
　　Key words： DC signal， differential and integration property of convolution， time-domain integration property of Fourier transform， time-domain integration property of Laplace transform ， difference and summation property of convolution， time-domain summation property of DTFT， signals and systems
　　线性时不变系统分析应用了两个重要的理论基础，一是信号的分解，二是系统的线性性与时不变性。线性时不变系统分析时，首先将信号分解为冲激（或脉冲）信号或复指数信号的线性组合，令其分别通过系统后，再将各响应进行线性组合得到系统响应。信号分解是线性时不变系统分析的基础，根据不同的分解方法，信号分解包括直流、交流分解，因果分量和反因果分量分解，偶分量、奇分量分解，各类正交函数分解等[1-6]。本文总结了包含直流信号的一般连续信号，在卷积运算、傅里叶变换和拉普拉斯变换中的特殊性，以及包含直流信号的一般离散序列，在卷积和运算、离散时间傅里叶变换中的特殊性。同时，我们分别给出例子说明这些性质的应用方法，总结了直流信号作用于因果稳定的线性时不变系统时的响应，以此加强对直流信号这一特殊信号的理解。
　　1 直流信號在信号与系统分析中的特殊性
　　1.1 包含直流信号的一般信号
　　包含直流信号的一般信号[ft]或[fn]，是时间无限信号。此类信号，除了可以按照直流与交流分量、因果与反因果分量分解以外，还可以分解为直流信号叠加一个因果信号的形式，即有：
　　其中，[f+t]和[f+n]分别表示上述信号的因果分量，此类分解不同于直流分量与交流分量分解，也区别于因果分量和反因果分量的分解形式，这样处理的优势在于当此类信号作为激励作用于因果稳定的线性时不变系统时，其响应的求解可以通过时域的卷积或卷积和与变换域的方法进行。但由于包含了直流信号，在应用时域和变换域的某些性质时，有特殊性，需单独处理。
　　1.2 直流信号在时域卷积和变换域中的特殊性
　　由于微分和差分运算皆为不可逆的，因此对上述信号[ft]或[fn]进行微分或差分后，再积分或求和运算得到的结果与原信号不同，即：
　　这导致其时域和变换域分析中的相关性质无法直接应用，下面分别总结如下。 　　1）卷积的微积分性质[2]
　　其中[n， m]取整数，取正整数时为导数阶次，取负整数时为积分阶次。根据（5）可以得到下列推论：
　　推论1：两个信号卷积的一阶微分等于其中之一的信号微分与另一信号的卷积，即：
　　对式（1）类型的连续信号，由于其微分后再进行积分与原信号不一致，因此无法直接应用式（5）-（7）的微积分性质进行卷积运算，而需单独计算其中的直流信号与其他信号的卷积。
　　2）卷积和的差分求和性质
　　上式中[?]表示一阶后向差分。当信号[f1n]中包含直流信号时，无法直接应用上述性质，需单独计算其中的直流信号与信号[f2n]的卷积和。
　　3）傅里叶变换的时域积分性质[1]
　　已知傅里叶变换对：[ft?Fjω]，则傅里叶变换的时域积分性质为：
　　在应用本性质时，往往待求信号[f-1t]微分后的傅里叶变换易求或已知，但若信号[f-1t]中含有直流信号，则同样无法直接应用上述性质，原因同上。
　　4）离散时间傅里叶变换的时域求和性质[3]
　　类似的，对离散序列有已知傅里叶变换对：[fn?Fejω]，则离散时间傅里叶变换的时域求和性质为：
　　在应用本性质时，一般的，待求信号的一阶后向差分信号[fn]的傅里叶变换已知或易求得，但若信号[k=-∞nfk]中含有直流信号，则无法直接应用上述性质。
　　5）拉普拉斯变换的时域积分性质[3]
　　由于拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，若[ft?Fs，ROC]，则拉普拉斯变换的时域积分性质为[3]：
　　与傅里叶变换类似，当信号[f-1t]中包含直流信号时，无法直接应用上述性质。
　　2 直流信号应用举例与总结
　　为说明直流信号分析的特殊性，分别给出连续和离散信号的几个例子说明总结的各性质应用方法。针对连续信号，以包含直流信号的一般信号[1+ut]为例，针对离散序列，以[1+un]为例。进而，计算该信号与因果信号的卷积或卷积和，以及信号[1+ut]的傅里叶变换与拉普拉斯变换，序列[1+un]的离散傅里叶变换。
　　通过上述例题说明，应用卷积的微积分性质时，若信号中包含直流信号，则该信号不能直接作为微分的信号。此外，该例题可视作全激励信号[1+ut]作用于冲激响应为[e-2tut]的连续因果稳定线性时不变系统的全响应求解，此响应中包括了零时刻之前的响应，这是由于无穷远时刻接入的激励导致的[7]。
　　通过上述例题说明，应用卷积和的差分求和性质时，若序列中包含直流信号，则该信号不能直接作为差分的信号。此外，该例题同样可视作全激励离散信号作用于脉冲响应为[12nun]的离散因果稳定线性时不变系统的全响应，此响应中包括了零时刻之前的响应，是由于无穷远时刻接入的激励导致的。
　　例5：求信号[1+un]的离散时间傅里叶变换。
　　解：注意到离散直流信号不仅是直流信号，同时还是周期为1的周期序列。因此借助单位离散直流信号的傅里叶变换[3]为：
　　值得注意的是，由于直流序列的z变换收敛域不存在，此处对其差分求和性质不做讨论。同时，根据上述总结和例题分析，我们将直流信号作用于因果稳定线性时不变系统时的响应的一般情况总结如下。
　　假设符合上述条件的N阶连续或离散系统的冲激响应或脉冲响应（仅给出系统特征根无重根情况）分别为：[ht=i=1Npieλitut]，[hn=j=1Nkjanjun]，其中，[λi，i=1，…，N]和[aj，j=1，…，N]分别是上述系统的特征根，且满足：[Reλi<0，?i=1，…，N]和[aj<1，?j=1，…，N]。因此，当直流激励[ft=A]或[fn=B]分别作用于此类系统时，其响应分别为：
　　即当直流激励作用于因果稳定线性时不变系统时，其得到的响应也是直流信号。
　　3 结语
　　直流信号是一类特殊的信号。在应用卷积的微积分性质、卷积和的差分求和性质、傅里叶变换的时域积分性质、离散时间傅里叶变换的时域求和性质、拉普拉斯变换的时域积分性质中，针对直流信号都需单独处理，不能直接应用。本文对上述特性进行了总结，并给出了应用实例。
　　参考文献：
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　　[2] 杨忠根，任蕾，陈红亮. 信号与系统[M]. 北京：电子工业出版社，2009.
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　　[5] 吴大正， 信号与线性统分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006.
　　[6] B.P Lathi.线性系统与信号（第2版）[M]. 刘树棠， 等译. 西安：西安交通大学出版社，2006.
　　[7] 任蕾， 薄华， 金欣磊， 张韵农， 陈红亮. 非因果输入的LTI系统全响应求解方法，電气电子教学学报， 2011， 33（4）： 44-46.
　　【通联编辑：王力】
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