随机荷载作用下参数不确定结构的疲劳损伤估计
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作者:朱颖 双妙
摘要：基于改进区间分析和频域疲劳计算方法，对参数不确定结构在平稳高斯荷载作用下的疲劳损伤进行研究，提出完全混合和简化计算两种方法。采用区问变量模型定义结构的不确定参数，功率谱密度描述外荷载的随机性;利用有理级数显式表示结构区间频响函数及在平稳高斯荷载作用下不确定结构的应力响应区问。通过数值方法验证疲劳损伤期望率关于不确定参数的单调性后，将应力响应中不确定参数的界限完全组合提出完全混合方法，准确估计参数不确定结构的疲劳损伤期望率区间;简化计算方法则将不确定参数的界限适当组合，由显式表达式近似计算结构的疲劳损伤期望率区间。算例表明，两种方法均具有较高计算精度，且大幅减少计算量。
关键词：随机振动;疲劳损伤期望率;改进区间分析;结构不确定;单调性
中图分类号：0324;0346.2;TU311.3 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0088-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.010
引言
根据结构控制点处应力的计算方法，通常将疲劳损伤估计分为时域和频域方法。时域方法通过时问进步法获得应力时程后，根据线性损伤累积理论计算控制点处的疲劳损伤;频域方法根据外荷载的功率谱密度得到应力响应后，由应力功率谱密度计算控制点处的疲劳损伤。由于不需要进行时程分析，频域疲劳分析方法大幅提高了计算效率。
上述两种疲劳估计方法均将结构参数视为确定值，由结构控制点处应力响应计算该点的疲劳损伤。然而，结构的疲劳失效是受大量不确定因素影响的复杂过程，主要包括结构和外荷载。其中，外荷载的不确定性通常由服役环境的不确定性引起，称为自然不确定性;结构的不确定性，通常由结构参数和模型误差两部分组成，是由于认知不确定性或不合理的模型简化引起的。
由于存在大量实测样本，自然不确定性可以通过统计分析建立准确的外荷载随机谱模型，根据频域疲劳分析方法得到结构控制点处的疲劳损伤期望率。对于结构的不确定性，传统方法是将结构不确定参数定义为随机变量，进而计算参数不确定结构的动力响应和可靠性。但是，准确的概率模型需要大量数据，在工程初期很难实现。同时，对于既有结构，结构参数的不确定性本身并不具有随机性。因此，这些局限性使非概率理论定义结构参数的不确定性成为解决疲劳损伤估计中结构不确定性的一种新思路。
Ben-Haim首次将凸集理论引入到疲劳损伤分析中，提出疲劳损伤估计的非概率方法。Qiu等基于寿命函数的Taylor展开和区问自然扩张，提出疲劳寿命的区问估计方法。Sarkar等通过Wiener级数计算结构参数或外荷载任一因素不确定情况下的疲劳损伤。
上述方法中，区问分析理论将不确定参数定义成区问变量，仅由参数的不确定范围即可对含不确定参数的结构进行定量分析。但由于经典区问分析过高地估计响应区问的宽度，不利于工程中应用。针对这一问题，广义区问方法被提出，以解决参数不确定结构在确定性荷载作用下的静力和动力。响应分析问题。Muscolino等基于有理级数提出改进区问分析方法，通过参数不确定结构区问频响函数的显式表达式，计算随机荷载作用下结构的动力响应区问和可靠性函数区间;并考虑随机荷载统计变量的不精确性。Do等将区问分析与谱随机和随机抽样相结合，提出考虑结构不确定参数的区问概率模型。刘海波等将结构中不确定参数分别定义为随机变量和区问变量，提出一种含概率与区问混合不确定性的可靠性分析方法。目前，基于首超破坏准则的区问可靠性分析相对成熟，而基于损伤累积理论的疲劳估计则有待研究。
本文将结构的不确定参数定义为区问变量，外荷载按概率模型简化，同时考虑荷载和结构两方面不确定性对疲劳损伤的影响。根据改进区问分析理论，提出两种疲劳损伤估计方法用于计算随机荷载作用下参数不确定结构的疲劳损伤。
3随机疲劳区间分析方法
3.1单调性验证
根据式（7）可知，当不确定参数向量a是区问疲劳损伤率的单调函数时，可以采用顶点法（vertexmethod）得到疲劳损伤期望率区问的准确值。但由于不确定参数的多样性和疲劳损伤的复杂性，很难通过数学证明验证疲劳损伤期望率区问关于不确定参数的单调性。
为验证某一不确定参数的单调性，文献[17]假设其他不确定参数取各自中值，并通过数值微分根据一阶导数在整个参数区问内符号变化情况判断区问解是否关于该不确定参数单调。疲劳损伤期望率区问关于某一不确定参数的导数可按差分形式表示为
当不确定参数向量是疲劳损伤期望率的单调函数时，采用顶点法对不确定参数完全组合可得到疲劳损伤界限的准确值。如图1所示，若待求解问题的不确定参数变量数为r时，顶点法计算疲劳损伤期望率区问的界限需要通過2r次动力响应分析和疲劳损伤估计。对于含有大量不确定参数的结构而言，计算量是巨大的。
本文在改进区问分析方法的基础上，提出完全混合方法和简化计算方法，解决传统区问分析方法计算量随不确定参数的数量指数增加的问题。
如图3所示，简化计算方法仅需对不确定参数变量进行适当组合即可显式表示出随机荷载作用下参数不确定结构的疲劳损伤率期望区问。需要说明的是，简化计算方法忽略了不确定参数y11和y21的依赖性;此外，一阶区问泰勒级数计算区问谱参数界限过程中略去了二阶高次项，因此精度低于完全混合方法。
4数值算例
本节将完全混合方法和简化计算方法应用于3个数值算例，第1个算例为二自由度汽车在不平整路面行驶时板簧疲劳问题，第2和3个算例分别是静定烟囱结构和超静定桁架结构在脉动风荷载作用下控制点的疲劳问题。需要说明的是，由于采用区问变量定义结构参数的不确定性，因此控制点处的疲劳损伤也是区问形式。 图4是本文方法的流程图。首先需计算疲劳损伤期望率关于不确定参数的导数，判断是否满足单调性条件;再将本文方法结果与顶点法得到的疲劳损伤期望率区问界限的准确值比较，详细讨论本文方法的准确性和适用性。
应用顶点法和完全混合方法、简化计算方法估计板簧疲劳损伤期望率区问时，需要对疲劳损伤关于不确定变量的单调性进行验证。图6所示是算例1的单调性，计算式（20）时车辆行驶速度为20m/s。
如图9表示汽车速度变化时，在10%和20%两种参数不确定范围情况下，本文方法计算得到的板簧疲劳损伤期望率区问的界限与准确值的比较。需要说明的是，图中疲劳损伤均与汽车速度为20m/s时，不确定参数取名义值条件下计算得到的疲劳损伤期望率正交。
图11是按第一类s-N曲线参数取值分别计算5个不确定参数的偏导数。如图11所示，偏导数在整个不确定参数区问范围内符号均保持不变，即满足单调性条件。
当不确定变量的单调性满足时，可由顶点法计算疲劳损伤期望率区问的准确值。图12是根据本文方法计算得到的弯曲应力引起控制点处的疲劳损伤区问期望率界限与准确值的比较。与算例1相同，图中疲劳损伤期望率界限均与结构名义值计算得到的疲劳损伤期望率正交。图13是本文方法计算得到的控制点处的疲劳损伤期望率界限与准确值问的误差。如图13所示，本文方法具有较高精度，当不确定半径为10%时，完全混合方法的误差在1%以内，简化计算方法的误差在5%范围内。
图14是当平均风速变化时，参数不确定在5%和10%两种不同条件下，本文方法计算得到的控制点处疲劳损伤期望率区问的界限与准确值的比较;图中给出了结构名义值的疲劳损伤期望率。需要指出的是，图14中疲劳损伤期望率均与按平均风速为10m/s时，不确定参数取名义值条件下计算得到的疲劳损伤期望率正交。
4.3超静定桁架结构风致疲劳图16所示为按数值方法计算得到的不确定变量范围内疲劳损伤期望关于不确定变量的偏导数。如图16所示，各偏导数的符号在整个区问范围内保持不变，即疲劳损伤期望率单调。
图17所示为完全混合法和简化计算方法计算平均风速为10m/s时不同不确定半径条件下疲劳损伤期望率区问的界限与准确值的比较。图18是本文方法与准确值之问的误差。如图18所示，本文方法具有较高精度，当不确定半径为10%时，完全混合方法的误差在1%以内，简化计算方法的误差在5%范围内。
图19所示是随平均风速增大，考虑两种不确定变量半径条件下，本文方法计算疲劳损伤期望率区问界限与准确值的比较。
4.4讨论
通过证明单调性条件，将本文方法与由顶点法计算疲劳损伤期望率区问界限的准确值进行比较，结果表明本文方法具有较高的计算精度。需要强调的是，顶点法需要对所有不确定变量的极值进行组合，再从中选取极大值和极小值。当不确定变量数为r时，采用顶点法计算疲劳损伤期望率区问的界限需要2’次动力响应分析和疲劳损伤估计，本文方法仅通过一次动力响应分析即可计算疲劳损伤期望率的界限，大幅减少了计算量。对于第2和第3个算例，由于不确定参数分别为5和9，因此顶点法分别需要25和29次动力响应分析，计算时问分别是70s和1109s;而本文方法仅需要通过1次动力响应分析，且计算时问分别是1.5s和29s。显然，本文方法的计算效率远高于顶点法。同时，顶点法的计算量随不确定变量数指数增加，对于复杂结构或含有较多不确定变量的结构计算量是巨大的。因此，本文方法特别适合计算这类结构的疲劳损伤问题。
由于将结构不确定参数定义为区问变量，因此疲劳损伤期望率也是区问形式。如图7、图12和图17所示，疲劳损伤期望率区问的宽度随结构不确定参数的不确定性增大而增大。当结构不确定参数的不确定半径很大时，本文方法仍具有较高精度。完全混合方法在疲劳估计中对不确定参数进行组合可准确计算疲劳损伤期望率区问的界限，各点误差均小于1%;简化计算方法可直接通过显式公式对疲劳损伤区问的界限进行初步估计。
如图8、图13和图18所示，计算误差随结构不确定参数的不确定半径增大而增大。这主要是由于改进区问方法在计算结构应力响应时随不确定参数的不确定性增大计算精度降低，同时简化计算方法估计疲劳损伤期望率区问界限时忽略了区问谱矩和区间带宽参数问的依赖性所致。
显然，由于疲劳损伤的下界过高的估计结构运行状况，工程中仅可采用疲劳损伤的區问上界。数值算例表明，如果考虑结构参数的不确定性，结构的疲劳损伤期望率的上界将大幅提高。因此对于重要结构，需要在疲劳分析中考虑结构的不确定性。
5结论
在频域疲劳分析方法的基础上，采用区问参数模型定义结构的不确定参数;通过数值方法，验证了疲劳损伤期望率关于不确定参数的单调性。在改进区问分析和频域疲劳计算方法的基础上，提出用完全混合方法和简化计算方法解决含参数不确定结构在随机荷载作用下的疲劳损伤估计问题，本文方法具有以下特点：
1.完全混合方法通过对疲劳损伤期望率区问中不确定参数进行完全组合，准确计算参数不确定结构的疲劳损伤期望率区问。
2.简化计算方法通过适当的组合不确定参数，由显式表达式计算参数不确定结构的疲劳损伤期望率区问。
3.在保证计算精度的前提下，基于改进区问分析的随机疲劳区问分析方法避免了传统顶点法需要进行多次动力响应分析的不足，大幅提高了计算效率。
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