论分布式陀螺柔性体结构的动力学建模问题
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作者:陈金 金栋平 刘福寿
摘要：针对含分布式控制力矩陀螺的柔性体结构动力学建模问题，研究了结构和陀螺之间相互耦合对结构固有振动的影响。通过基于有限元离散的建模思路，获得了含分布式控制力矩陀螺的结构动力学模型。对比模态叠加方法，提出原柔性体模态的概念。结果表明，分布控制力矩陀螺对结构固有振动产生了本质的影响。基于原柔性体结构前几阶模态的模态叠加法，由于没有计入结构和陀螺之间的耦合效应，所得到结构动力学降阶模型具有较大误差。
关键词：结构动力学;陀螺柔性体;模态叠加法;模型降阶;原柔性体模态
中图分类号：0326 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0074-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.008
引言
自D’Eleuterio和Hughes提出连续陀螺柔性体概念以来，陀螺在结构中的耦合效应引起了广大学者的注意。Brocato和Capriz详细研究了陀螺影响结构振动的机理;Hassanpour和Heppler提出了微极陀螺连续体的概念，将模型适用性拓展至大转角。然而，由于连续分布陀螺在工程中无法实现，很多学者研究了链式连接陀螺体、离散分布陀螺柔性体的耦合动力学问题，并将其用于陀螺阻尼器、姿态和振动抑制等。Hu等将离散的分布式陀螺柔性体扩展到空问结构，研究了奇异性和操纵律。Wu等针对传统控制方案易出现奇异性的问题，基于斜交构型变速控制力矩陀螺群，以控制力矩陀螺状态变量作为系统控制输人，将控制力矩陀螺的奇异问题转化为系统状态变量与控制输人受限的控制问题，采用非线性模型预测控制方法实现了航天器的姿态控制。
在现阶段陀螺柔性体的动力学建模中，部分采用的建模思路是模态叠加法，选取的模态是未考虑结构和陀螺之问耦合效应的原柔性体结构的固有振动模态，这种采用原柔性体结构前几阶模态对陀螺柔性体进行模型降阶的方法造成很大误差。本文将结构和陀螺之问的耦合效应纳入有限元离散过程，建立了分布式陀螺柔性体的动力学模型，对比研究了有限元方法和模态叠加法的计算结果，指出了模态叠加法的适用性。
1陀螺柔性体动力学精确建模
研究含分布式控制力矩陀螺（Control MomentGyro，cMG）的柔性体结构动力学建模问题。建立固定于地球的惯性坐标系Oe-Xeyeze和第i个CMG框架和转子的质心坐标系Oi-xiyizi，其中xi和yi分别沿框架转轴和转子转轴方向，如图1所示。假设结构为线弹性、小变形，框架转角及角速度均为小最。
由上述说明可以发现，方程（12）可以由方程（9）降阶变换得到。即：使用模态叠加法建模，当选取模态阶数趋于系统离散自由度时，模态叠加结果收敛于方程（9）。
需要注意的是，对于陀螺柔性体而言，陀螺耦合效应改变了系统固有属性，因此在模态叠加建模过程中采用的模态信息来源于原柔性体结构，并不是陀螺柔性体结构的真实模态，将这种不能体现系统真实固有特性的模态称为原柔性体模态。
在采用结构真实模态进行模态降阶时，真实模态可以使系統解耦，使用前几阶模态即可较为准确地描述结构振动;而采用原柔性体模态进行模态叠加建模时，所得到的系统动力学的固有特性误差不仅来源于模态截断，更来源于原柔性体模态，并不能真实描述耦合系统的固有振动。
综上所述，对于陀螺柔性体结构，通过本文提出的基于有限元离散思想的建模方法，可以得到较为准确的动力学方程并进行模态分析;而采用模态叠加法建模时，由于原柔性体模态未考虑陀螺耦合效应对结构的影响，选取的模态叠加阶数较低时无法得到较为准确的动力学模型及耦合结构的真实模态信息。
3算例
3.1CMGs对固有振型影响
研究陀螺转子角动量对耦合柔性体结构固有特性的影响，将框架与柔性结构固定，即将方程（9）和（12）右端输人项置零。文献[1，10]给出了陀螺柔性体的陀螺柔性模态概念，均表明陀螺柔性体运动可由陀螺柔性模态（uo，va）描述。参照上述文献推导过程，对式（9）作同样处理，即写成状态空问形式
以图3所示固支约束边界陀螺柔性梁结构为例，采用有限元法离散为20个梁单元，共有21个节点，结构总自由度为120。选取节点3，5，7，9，11，13，15，17，19，21作为控制力矩陀螺的安装位置。陀螺初始框架坐标系与结构惯性参考系重合，结构参数如表1所示。梁横截面积为0.01m×0.02m，材料为铝合金。
给定陀螺转子角动量hi=15N·m·s，分别使用有限元离散和6阶原柔性体模态叠加计算陀螺柔性模态，如图4所示。
从图4可以发现，使用6阶原柔性体模态叠加可以较为准确地模拟1阶陀螺柔性模态，而其余阶陀螺柔性模态误差会越来越大。模态叠加思想之所以可以用于降阶动力学模型，是因为真实系统模态可以使质量矩阵和刚度矩阵解耦，低阶模态振动能量相对于结构真实振动能量占比较高，高阶模态对结构真实振动影响较小。然而，如果耦合效应影响了系统真实固有特性，改变了结构真实模态，此时使用原柔性体模态叠加进行动力学建模，将产生比较大的误差。
3.2CMGs对固有频率影响
本节计算转子转速对结构固有频率的影响，同样选取图2所示的约束边界梁结构。改变各个陀螺的转子角动量，使其在0-24N·m·s范围内变化，分别使用有限元离散及5，10，20阶原柔性体模态叠加计算结构固有频率随角动量的变化，结果如图5所示。
从图5（b）可见，当采用5阶原柔性体模态叠加计算时，固有频率变化趋势出现明显错误;从图5（c）可见，模态叠加阶数提高为10阶时，结果趋于图5（a）有限元离散的结果，但对比A点与B点可以发现，数值上仍存在较大误差;从图5（d）可见，当模态阶数为20阶时，结果与有限元离散计算趋于一致。 给定转子角动量15N·m·s，采用本文提出的方程（9）计算陀螺柔性体前4阶固有频率，并与不同阶数原柔性体模态叠加计算结果对比，结果如表2所示。从表2可见，对于图2所示构型，针对陀螺柔性体前4阶固有频率，所选取的原柔性体模态阶数需达到10阶时，才可以使误差降到5%以下。
对于不同构型或不同转子角动量，由于耦合效应对结构固有特性影响程度不同，原柔性体模态叠加计算误差也不同，因此对于不同构型的陀螺柔性体建模，难以事先确定可以实现足够精度的原柔性体模态阶数。为此，建立如图6所示不同陀螺柔性梁构型，这里初始转子角动量方向分别指向y轴和z轴。改变各个转子角动量，使其在0-24N·m·s内变化，采用本文提出的方程（9）计算结构固有频率随角动量变化趋势，结果如图7所示。
对比图5和7可以发现，不同构型的陀螺耦合效应对结构固有特性影响不同。例如，y向构型的陀螺耦合效应对结构原始1阶、3阶和5阶固有振动没有影响;z向构型的陀螺耦合效应对结构原始2阶和4阶固有振动没有影响。通常，陀螺耦合效应使结构固有频率降低，特殊情况下局部频率上升，因此可以通过合理的配置使结构达到期望的动力学特性。
同样地，给定转子角动量15N·m·s，使用原柔性体模态叠加法，计算前4阶y和z向構型陀螺柔性梁固有频率，结果如表3和4所示。可见，计算误差在5%以下所需原柔性体模态阶数分别为37阶和48阶。实际应用中，模态叠加使用的模态阶数一般不会超过10阶，若所选模态序列为结构真实模态序列，选取前几阶即可准确描述相应的模态振动;若选取的模态序列为原柔性体模态，为得到足够的精度，所需模态阶数取决于耦合效应对结构固有特性的影响。若耦合效应对结构固有特性改变较小，较少阶原柔性体模态叠加可以达到较高的精度，若耦合效应对结构真实模态改变较大，原柔性体模态叠加会造成很大的误差。
4结论
对于陀螺柔性体结构，结构变形引起的陀螺耦合效应可以改变结构的固有特性。一般情况下，陀螺耦合效应使结构固有频率下降，但不同的陀螺配置和转子角动量对固有特性影响不同，特殊构型可以使结构部分固有频率上升。由于结构真实模态受陀螺影响而发生改变，用原柔性体模态作模态叠加建模无法得到真实的降阶模型，产生的误差取决于耦合效应对结构真实模态的影响程度。因此在对任一特定的陀螺柔性体结构建模前，如果采用模态叠加方法，需要对其进行陀螺耦合效应及收敛性分析。
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