具有初始应力加劲板的非线性动力学特性

来源:用户上传      作者:马牛静 王荣辉

　　摘要：针对工程结构中常用的加劲板，研究了其在初始应力作用下的非线性振动特性。将母板与加劲肋分开考虑，其中母板按薄板理论考虑，加劲肋按Euler-Bernoulli梁理论考虑，根据母板与加劲肋的应力与应变关系建立系统的应变能表达式，同时结合系统的动能表达式，并利用Lagrange方程建立系统的非线性动力微分方程。运用椭圆函数求得加劲板单模态的非线性频率，采用同伦分析方法求解加劲板的3：1内共振。通过参数分析，重点讨论初始应力变化对系统非线性动力特性的影响，并得出初始应力的存在对加劲板非线性动力特性的影响规律。
　　关键词：非线性振动;加劲板;初始应力;内共振
　　中图分类号：0322 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0047-09
　　DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.OL 005
　　引言
　　在工程结构中，由薄板与纵横两个方向加劲肋构成的加劲板应用比较广泛。例如，桥梁工程和船舶工程中由交叉梁和连续矩形板构成的整体梁板结构，或机械工程及航空工程中广泛应用具有辗制方向的金属板、波纹板、加肋板及胶合板等。由于这类结构通常承受各种动荷载，因此其动力学特性的研究具有重要的意义。此外，由于构成这类结构的板与肋之问通常采用焊接连接，而焊接则会在结构内部产生残余应力，进而使得结构的力学特性尤其是非线性动力学特性更为复杂，因此研究初始应力的存在对加劲板非线性动力学特性的影响不仅具有一定的理论意义，更具有明确的实际工程价值。
　　国内学者对加劲板的研究主要集中于静力问题，关于其动力学尤其是非线性动力学特性的研究并不多见，张涛、彭英与马牛静分别在其博士论文中对加劲板的非线性动力学特性展开研究。罗晓玲等研究了初始缺陷对加劲板的非线性稳定性的影响;侯瑾与龚良贵数值研究了含有初始挠度的加筋板结构非线性动力屈曲特性;Koko与Olson用超单元对加劲板进行非线性分析;Sheikh与Mukhopadhyay用样条有限条法分析了板与加劲板的线性与非线性瞬态振动;Ma等研究了四边固定加劲板在主共振激励作用下的内共振特性;Mitra等研究了简支单向加劲矩形板承受横向荷载的大幅振动，重点讨论了加劲肋的位置、肋板面积比及厚度比对非线性动力特性的影响;Duc等研究了温度环境下采用功能梯度材料的具有初始缺陷的加劲夹层板的非线性动力响应。然而，以上学者的研究中均未考虑初始应力的影响。
　　众多学者研究了初始应力对结构的影响，赵秋与吴冲数值研究了钢箱梁u肋加劲板焊接残余应力分布，并提出了一种简化计算方法，同时将其应用于加劲板的受压承载力分析;瞿丽华等数值模拟了残余应力对焊接工字钢梁模态的影响;马牛静与赵国栋运用有限元软件ANSYS分析了残余应力对钢箱梁局部振动的影响;张超等研究了初应力对压电压磁板中水平剪切振动的影响;Zheng与Hu研究了残余应力的筛降效应及其对矩形加劲板强度的影响;Rossikhin与Shitikova研究了具有初始应力的弹性正交异性圆板在冲击激励作用下的动力稳定性;Chen研究了具有初始应力层压板的非线性振动。尽管以上学者提出了初始应力的分析及处理方法，但这几类的初始应力考虑方法均不易应用于常规加劲板动力分析。
　　非线性振动常用的求解方法有摄动法、多尺度法、渐近法、平均法、谐波平衡法等多种方法，每一种方法都有各自的特点，由Liao提出的同伦分析法因不涉及小参数，所以不仅可应用于弱非线性振动，亦可用于强非线性振动;Pirbodaghi等运用同伦分析法研究了轴向荷载作用下的Euler-Ber-noulli梁非线性动力学行为;Hassan与E1-Tawil运用同伦分析法求解了二阶非线性微分方程;Ma等运用同伦分析法研究了具有移动边界加勁板的非线性动力行为。
　　综上所述，关于加劲板的动力学研究成果众多，但均未有理想简便的方法考虑初始应力。鉴于此，本文以截面残余应力自相平衡原理简便地考虑初始应力的存在，并利用能量方法推导出具有初始应力加劲板的非线性动力方程。运用椭圆函数求得加劲板单模态的非线性频率;同时，运用同伦分析方法求解加劲板的3：1内共振。通过既有实验对本文的方法进行验证，并由参数分析重点讨论初始应力变化对系统非线性动力特性的影响，得出初始应力的存在对加劲板非线性动力特性的影响规律，对工程设计有重要的参考意义。
　　1控制方程的推导
　　考虑如图1所示的由纵、横加劲肋及母板构成的加劲板，沿x，y方向母板中面的位移分别由u，v表示，沿x方向母板的挠度用w表示。板与肋均由同种各向同性材料组成。以下分析中将母板与加劲肋分开考虑，其中母板按薄板理论考虑，而加劲肋则按Euler-Bernoulli梁理论考虑。此外，根据母板与加劲肋的应力与应变关系建立系统的应变能表达式，同时结合系统的动能表达式，并利用Lagrange方程建立系统的非线性动力微分方程。
　　由于在工程结构中实际的初始应力分布十分复杂，在结构分析中通常加以简化以便于计算。本文假设母板中沿x，y方向的初始应力分别为σpxo，σpyo，沿x，y方向加劲肋中的初始应力分别为σsxo，σsyo为了便于分析，假定初始应力均为常数，由残余应力自相平衡条件得到：
　　2非线性频率分析
　　2.1分析内容
　　对于工程结构而言，通常低阶模态在振动过程中起主导作用，因此，低阶振动特性对结构分析具有重要的指导意义。本文针对加劲板的横向一阶振动，对其非线性频率进行分析。
　　2.2边界条件
　　为了便于比较，本文选择两种典型的边界条件进行分析，即四边简支且不可移动的边界条件进行研究，可以设位移的形式如下：
　　2.4数值分析
　　2.4.1计算结果验证
　　为了对本文方法进行验证，这里选取作者在开放课题研究中已在本单位重点实验室中实施的模型实验结果进行比较分析。加劲板实验模型四边夹紧固定在振动平台上，以此来模拟四边固定边界条件;通过给加劲板中心施加不同的初始位移，让其产生自由振动;另外，采用拾振器获取加劲板振动响应，通过振动测试系统，并利用信号分析软件进行处理，进而获取加劲板的非线性频率。加劲板实验模型双向均设置3个加劲肋，结构参数如下：a=b=1m，E=2.O×1011Pa，u=0.3，p=7.85×103kg/m3，h=0.005m;此外，矩形加劲肋的高度均为0.05m，宽度均为0.01m;同时，实测得到的加劲板母板焊接残余应力平均值约为35MPa。基于以上加劲板的自由振动分析，得到非线性频率比测试值与计算值如表1所示。 　　由表1可见，加劲板的非线性频率计算值与测试值比较吻合，误差均在5%以内，由于测试中尚有其他外界不确定因素的影响，该分析结果已经比较理想，这就说明运用本文方法分析具有初始应力加劲板的非线性振动是比较准确的。另外，当初始振幅大于2倍板厚之后，误差逐渐变小，这说明随着非线性效应的逐步增强，计算值与测试值趋于收敛。
　　2.4.2参数选择及数值分析
　　从图2与3可以看出，随着振幅的增加，在母板初始应力由压应力逐渐减小至零，进而变为拉应力并逐渐增大的过程中，加劲板的非线性频率均逐渐增加，即加劲板的非线性特性逐渐变强。这可理解为在加劲板结构中，加劲肋的刚度通常起主导作用，随着母板应力的变化，加劲肋的应力变化过程正好相反，即先由拉应力逐渐减小至零，再变为压应力并逐渐增大，在这一过程中，加劲肋的刚度逐渐减小，进而引起整个加劲板的刚度减小，从而使得加劲板的非线性特性变强。另外，通过对比四边简支与四边固定两种情况，亦可以明显地看出不同的边界条件对加劲板的非线性动力特性亦不同。
　　3内共振分析
　　3.1耦合振动方程的建立及求解
　　为了便于分析，本文只考虑四边简支边界情况，并分析横向模态之问的3：1内共振，因此选择位移条件如下：
　　3.2数值分析
　　3.2.1计算结果验证
　　加劲板的幅频响应测试同样采用2.4节中的实验分析模型，利用激振器给加劲板表面施加横向均布激励，激励幅值为F=1kN/m2。在一阶模态共振频率附近通过逐渐增加激励频率，并记录加劲板中心幅值;随后再逐渐减小激励频率，并记录加劲板中心幅值。整个过程通过振动测试系统，并利用信号分析软件进行处理，得到加劲板无量纲的幅频特性曲线如图4所示。
　　从图4可以看出，计算得到的幅频曲线与测试值总体比较吻合，从而进一步验证了计算结果的准确性。另外，图中箭头代表着振幅随频率的变化路径。可以看出，随着激振频率的增加，振幅值由A增加至B，到达峰值B点后，突然变为C，这反映出幅频响应的跳跃现象;同样，随着激振频率的减小，振幅值由D增加至E点后，突然变为F，亦是跳跃现象的表现。
　　3.2.2参数选择及数值分析从时程曲线图5-7及幅频曲线图8，9可以看出，在内共振的作用下，两个模态的振动一开始就被激发，由于一阶模态受外激励直接激发，而三阶模态由一阶模态激发，因此，在能量转换过程中一阶模态的幅值高于三阶模态的幅值;另外，由case 1至Case 3变化中，母板的初始应力由受压变为受拉，亦即加劲肋的始应力由受拉变为受压，从而使得加劲板的整体刚度变小，进而振幅变大。以上分析亦表明模态耦合作用在系统非线性分析中非常重要，内共振同样可以激发耦合模态的大幅振动;此外初始應力的存在会显著改变系统的非线性动力学特性，通过加劲板的分析已得到明确的体现，这在工程结构的动力分析中应予以考虑。
　　4结论
　　本文运用能量方法并结合Lagrange方程推导了具有初始应力加劲板的非线性振动微分方程，根据椭圆函数法求得了加劲板的非线性频率，通过既有实验验证了本文方法的正确性，并由数值分析讨论了边界条件及初始应力对加劲板非线性频率的影响，结果表明由于加劲肋的刚度对整体的刚度影响起主导作用，其初始拉应力的增加会减弱系统的非线性特性，反之亦然;同时边界条件亦对非线性频率有明显的影响。另外，运用同伦分析方法研究加劲板的3：1内共振，由于该方法无需引进小参数，因此该方法既可用于弱非线性系统亦可用于强非线性系统分析。通过数值分析，表明模态耦合作用在系统非线性分析中非常重要，内共振同样可以激发耦合模态的大幅振动;此外初始应力的存在会显著改变系统的非线性动力学特性，通过加劲板的分析已得到明确地体现，这在工程结构的动力分析中应予以考虑。
转载注明来源:https://www.xzbu.com/8/view-15210682.htm