复杂曲面轮廓误差高精度在线计算研究

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　　摘 要：高精度在线计算轮廓误差可有效降低数控加工中的控制轮廓误差。因此，提出一种基于三点弧线理论的方法，在补偿轮廓误差之前对轮廓误差进行精确计算。首先根据插值参考位点与加工过程中的实际位置，计算距离实际位置最近的参考位点;然后根据最近参考位置及其相邻两点形成的近似外接圆弧，计算实际位置到该圆弧的距离，即求得刀尖位点轮廓误差，采用同样方法计算刀具方向轮廓误差。实验结果表明，该算法比原有算法刀尖位点轮廓误差均值减小了0.056um，刀具方向均值比原有算法减少7.166um。基于三点弧线理论的算法仅需考虑实际位置与距离实际位置最近的参考位点坐标，可精确计算较大的曲率处，且无需考虑传统计算方法中刀具干涉问题，简化计算过程的同时还可保证计算精度。
　　关键词：轮廓误差;三点弧线;刀具轨迹
　　DOI：10. 11907/rjdk. 191880 开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
　　中图分类号：TP306 文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2020）005-0069-05
　　0 引言
　　复杂曲面加工在工业生产中应用愈加广泛，如整体叶轮、螺旋桨、机翼等。数控系统动态特征决定零部件加工精度高低，在多轴加工过程中，单轴伺服系统频率与带宽会造成每个轴跟踪误差[1]。若轴动态特性不匹配则会造成轮廓误差，减小轮廓误差比跟踪误差更重要，因为前者直接影响加工零件形状精度[2-3]。传统减小轮廓误差的方法主要有两种，一是通过控制各轴跟随误差间接达到减小轮廓误差的目的，如Syh-Shiuh[4]提出利用零相位方法计算单轴跟踪误差;另一种是直接控制轮廓误差大小，如庄丙远等[5]用D-H法建立轮廓误差计算模型，设计PID轮廓误差补偿器，对轮廓误差进行补偿。在补偿轮廓误差之前，首先必须精确计算出轮廓误差大小，因此如何在线精确计算轮廓误差大小尤为重要。赵欢等[6]提出在插值点处用二阶泰勒展开的方法计算轮廓误差;隋振等[7]提出根据实际加工点与理论位点之间的滞后量计算轮廓上的校正位点，依据是进给速度与切向跟踪误差;Wang[8]用多次密切圆的方法计算轮廓误差;Uchiyama等[9]用二阶展开公式计算平面圆的轮廓误差，并结合交叉耦合控制补偿轮廓误差;Mohammad等[10]运用密切圆局部逼近待加工的自由曲线，并用麦克劳林二阶展开式求解轮廓误差近似值;林献坤等[11]提出基于点到空间曲线距离函数的轮廓误差二阶估计方法。在曲面加工中利用上述方法可使小曲率处的加工精度提高，但若在大曲率位置，如尖点处、拐角处等，计算精度会下降。岳磊[12]利用足点定义，进行迭代计算，将轮廓误差计算精确化，该方法虽然计算精度有所提升，但是计算量相当庞大，计算时间较慢;林志伟[13]结合任务坐标系法对轮廓误差进行计算和补偿，但在路径曲线上因局部曲面曲率变化等原因出现微小波动，会对实际加工造成不良影响。
　　本文提出一种基于三点弧线理论的算法，进行刀尖位点与刀具方向轮廓误差计算[14]。该算法优点在于仅需考虑实际加工点位置和最近参考位点位置，无需考虑刀轴间的干涉问题与曲面曲率，在较大曲率处也能精确计算[15-16]。本文算法通过计算实际位置和最近参考位置与其相邻两点构成的弧线之间的距离，计算刀尖位点轮廓误差，引入比例因子，在单位圆中根据刀尖位点位置计算相应的刀具方向位置，引入比例因子可确保刀尖位点与刀具方向同步，以同时计算刀尖位点与刀具方向轮廓误差。
　　1 五軸轮廓误差算法设计
　　五轴轮廓误差主要受刀尖位点与刀具方向两个误差的影响，因此在计算轮廓误差时，需将刀尖位点与刀具方向轮廓误差定义在同一个坐标系中[17-19]，如图1所示。
　　其中[（Pr，Or）]是理论轮廓上刀尖位点和刀具方向的参考位置，[（Pa，Oa）]是实际加工过程中刀尖位点与刀具方向的位置，[Pc]是理论轮廓上距离实际刀尖位点[Pa]最近的刀尖位置，[Oc]是[Pc]位置对应的刀具方向位置。如图1所示，[εp]是刀尖位点轮廓误差，[ε0]是刀具方向轮廓误差。
　　1.1 刀尖位点轮廓误差计算
　　如图2所示，[P1，P2，？Pn]是参考路径上的插值参考位置，[Pr]是参考位置，[Pa]是对应于[Pr]的实际加工位置。首先，需找到在期望轮廓上距离实际位置[Pa]最近的位置，记为[Pr-k]，[k∈-M，M]。计算公式见式（1）。其中，M是参考位置[Pr]附近的搜索范围。[Pr-k-1]和[Pr-k+1]是与[Pr-k]相邻的左右两点。本文算法假设[Pr-k]既不在轨迹起点，也不在轨迹终点，且[Pr-k-1]、[Pr-k+1]、[Pr-k] 3点不共线。根据得到的[Pr-k-1]、[Pr-k+1]、[Pr-k] 3点，可以画出外接圆，如图2所示，外接圆圆心[O0]可根据公式（2）计算。
　　
　　1.2 刀具方向轮廓误差
　　为将刀尖位点与刀具方向协同到同一个坐标系中求解轮廓误差，需保证刀尖位置[Pc]距离相邻参考位置的比例系数与刀具方向[Oc]距离相邻参考位置的比例系数相同。
　　[Pc]可能落在[Pr-k]的左右两边，计算刀具方向轮廓误差方法假设[Pc]在[Pr-k]的左边，如图2所示。左右边计算公式相同。比例系数[λ]的引入是为了定量描述计算得到的刀尖位置[Pc]与参考位置[Pr-k-1]、[Pr-k]之间的关系，同时保证同步计算刀尖位点与刀具方向轮廓误差。计算公式为：
　　若[γ<π2]，则将[（Pn-2，On-2），（Pn-1，On-1），（Pn，On）]看作[（Pr-k-1，Or-k-1），（Pr-k，Or-k），（Pr-k+1，Or-k+1）]，然后根据1.1和1.2中提出的方法分别计算刀尖位点轮廓误差和刀具方向轮廓误差。
　　（2）当相邻的参考点共线时，即[（Pr-k-1，Or-k-1），][（Pr-k，Or-k），（Pr-k+1，Or-k+1）] 3点共线时，如图6所示，首先计算[（Pr-k+1-Pr-k-1）./（Pr-k-Pr-k-1）]，判断得到的向量是否[x=y=z]，若相等，则3点共线;如图6所示，[Pc]为[Pa]在线段[Pr-k-1Pr-k]上的投影。 　　原始算法计算结果见图8，刀尖位点误差均值为0.000 158 20mm，刀具方向轮廓误差均值为：1.570 796 22mm;经过改进后的算法见图9，刀尖位点轮廓误差均值为0.000 102 17mm，相比减少了0.056um，刀具方向轮廓误差均值为：1.570 796 04mm，相比减少了7.166um。说明本文算法计算精度更高。
　　3 结语
　　轮廓误差是标识复杂曲面加工质量的重要指标。复杂曲面加工中不可避免会产生轮廓误差，因此需对轮廓误差大小进行补偿，以达到预期加工效果。在补偿轮廓误差之前需精确计算轮廓误差，因此本文提出了一种基于三点弧线理论的方法在线精确计算轮廓误差。针对原始算法需考虑刀具加工中的干涉问题，以及其它算法在较大曲率处计算精度较低的问题，本文算法仅考虑最近实际位点和最近参考位置，所以适用于不同类型的曲面加工，同时在较大曲率处也能进行精确计算。经过试验验证，本文算法可精确计算复杂曲面加工中轮廓误差大小，为后续进行轮廓误差补偿提供依据，便于设计轮廓误差补偿器进行轮廓误差补偿，以达到理想的加工效果。
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　　（责任编辑：江 艳）
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