关于矩阵特征值有关性质的探讨
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摘要：矩阵的特征值和特征向量是线性代数课程的重要内容，它们不仅在矩阵的可对角化问题中起着关键的作用，也在概率统计、物理、工程、经济学等领域有广泛应用。本文主要探讨矩阵的特征值的有关性质，希望能引发读者的思考，并对线性代数的教学起到一定的作用。
关键词：线性代数；矩阵的特征值；矩阵多项式；可逆矩阵
中图分类号：O151.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）24-0190-02
本文主要探討在线性代数课程教学中关于矩阵的特征值和特征向量的有关问题。首先介绍矩阵的特征值和特征向量的定义以及求法[1]。为方便起见，本文考虑的数域是复数域。
定义[1]：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式
Ax=λx （1）
成立，则称λ是方阵A的特征值，非零列向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
（1）式也可以写为
（A-λE）x=0，
该齐次线性方程组有非零解的充要条件是
A-λE=0。 （2）
这里A-λE是λ的n次多项式，称为A的特征多项式，（2）式称为A的特征方程。
通过以上的分析，我们得到求解方阵A的特征值和特征向量的方法[1]：首先求出特征方程A-λE=0的全部根，即是A的全部特征值；然后把每个特征值代入到齐次线性方程组（A-λE）x=0，求出基础解系，则基础解系的所有线性组合（零向量除外）就是A对应于该特征值的全部特征向量。
现在我们来探讨矩阵的特征值的有关性质。
定理1[2]：设A是n阶方阵，f（x）=ax是一个m次多项式，m∈N，
（i）若λ是方阵A的特征值，则f（λ）是f（A）的特征值；
（ii）设λ，λ，…，λ是A的全部特征值，则f（λ），f（λ），…，f（λ）是f（A）的全部特征值。
注意该定理的结论（ii）中重特征值按重数计算，（ii）并不能直接由（i）得到，除非能保证A没有重特征值且f（λ），f（λ），…，f（λ）两两互不相等。该定理的严格证明参考林亚南[2] （p185）：（i）直接由特征值和特征向量的定义得到；（ii）的证明需要用到“任一复数矩阵相似于一上（下）三角形矩阵”这一性质，从而该上（下）三角形矩阵对角线上的元素就是该矩阵的全部特征值，事实上还有“任一复数矩阵相似于一Jordan矩阵”这一更强的论断。这里需要指出的是，该定理的两个结论都是重要的，部分教材没有给出结论（ii）但实际需要用到。比如吴传生[1]只给出了结论（i）但是其习题5-2第3题就需要用到（ii）。
本文的主要目的是考虑当A是可逆矩阵时定理1中的一般多项式可以推广到Laurent多项式的情形。我们先给出一个引理。
引理：设A是n阶可逆方阵，
（i）若λ是方阵A的特征值，则是A的特征值[1]；
（ii）设λ，λ，…，λ是A的全部特征值，则，，…，是A的全部特征值。
证明：该引理的结论（i）直接由矩阵的特征值和特征向量的定义得到[1] （p160）。下面证明（ii），由于A相似于一上三角形矩阵，故存在可逆矩阵P，使得PAP=B，B是一上三角形矩阵，且对角线上的元素为λ，λ，…，λ。对上面的矩阵等式两边同时取逆矩阵得PAP=B，易知B仍然是一个上三角形矩阵，且对角线上的元素为，，…，，这即是A的全部特征值。
由上述引理，我们容易得到下面的定理。
定理2：设A是n阶可逆方阵，g（x）=ax是一个Laurent多项式，l，m∈N，
（i）若λ是方阵A的特征值，则g（λ）是g（A）的特征值；
（ii）设λ，λ，…，λ是A的全部特征值，则g（λ），g（λ），…，g（λ）是g（A）的全部特征值。
需要注意的是，这里对于一个可逆方阵的负整数幂定义为A=（A），k=1，2，…，当然A=E。该定理的证明思路同定理1，故不再详述。利用定理2，我们可以很容易由一个可逆矩阵的特征值写出其对应的矩阵Laurent多项式的特征值。
例 已知λ，λ，λ是三阶可逆方阵A的特征值，求（A）-2A+3E的所有特征值。
解 由于（A）-2A+3E=A（A）-2A+3E，故其对应的Laurent多项式为
g（x）=Ax-2x+3=（λλλ）x-2x+3，从而g（λ），g（λ），g（λ）就是（A）-2A+3E的三个特征值，即
（λλ）-2λ+3，（λλ）-2λ+3，（λλ）-2λ+3。
此外，吴传生[1]习题5-2第3题，第五章总习题第1题都可以用定理2直接求解。因此本人建议可以考虑将定理2加入到线性代数的教材中，这有助于学生对矩阵的特征值有更全面的理解，并且非常有利于快速解答相关题型。
最后，定理1中考虑的多项式还可以推广到更一般的矩阵函数（通过收敛的矩阵幂级数定义）[3]。例如对于n阶方阵A，定义e=A，可得
（i）若λ是方阵A的特征值，则e是e的特征值；
（ii）设λ，λ，…，λ是A的全部特征值，则e，e，…，e是e的全部特征值。
参考文献：
[1]吴传生.经济数学-线性代数（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2015.
[2]林亚南.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.
[3]程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论[M].第3版.西安：西北工业大学出版社，2006.
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