矩阵特征值的求法举例
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摘 要：矩阵特征值是线性代数的一个重要知识点，特征值的求法有些题目具有一定的特性时有一定的解题技巧。掌握这些解题技巧，可以更好地解决具有这些特定特征的矩阵特征值问题，提高解题的效率。该文通过笔者多年来线性代数授课经验，总结一下线性代数教材中经常出现的几类矩阵求特征值时的技巧，为快速准确地得出特征值提供一定的借鉴。
关键词：线性代数 矩阵 特征值
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）03（a）-0139-02
Absrtact： Matrix eigenvalue is an important knowledge point of linear algebra， and the method of finding eigenvalue has certain solving skills when some problems have certain characteristics. Mastering these problem-solving skills can better solve the matrix eigenvalue problem with these specific characteristics and improve the efficiency of problem-solving. Based on the author's many years of teaching experience in linear algebra， this paper summarizes the skills of finding eigenvalues of several kinds of matrices which often appear in the textbooks of linear algebra， and provides some references for obtaining eigenvalues quickly and accurately.
Key Words： Linear algebra; Matrix; Eigenvalue
特征值是线性代数的一个重要的概念，是研究矩阵相似对角化与二次型这两章内容的重要基础。没有特征值跟特征向量，这两章体系都建立不起来。因此，给出一个n阶方阵后，求出全部的n个特征值就尤其重要，是研究这两章内容的出发点。求特征值的方法是从特征多项式出发，令|A-E|=0得关于的n次方程求出n个根，即为矩阵的n个特征值。求根如果次幂高是有难度的。而我们讨论问题时基本上用3阶方阵，3次方程求根对学生来说难度也相当高，很多时候关于的三次多项式算得出来，但3个特征值求不出来。这样后续的特征向量以及其他计算都会受到影响。线性代數教材还有参考书基本上都是直接给出结果，没有计算过程。因此接下来将以几个3阶方阵为例，提供几个好用的解题技巧，以方便学生快速准确地得出特征值。
1 具体内容
（1）矩阵某行或某列非主对角线位置上的元素有2个0。
例如求矩阵的特征值。此题，教材上的步骤
就是，中间过程没有。形如
这类题目，对学生来说是容易的，只需按第三列展开降阶，此时其中一个因式（5-）出来后，剩下二阶行列式算好后再分解因式即可得（1-）2。避免直接计算出三次多项式，因为二次多项式分解因式比三次多项式容易。
（2）矩阵每一行或每一列所有元素和相同。
例如求矩阵的特征值。此题，教材上的步骤就是，中间过程没有。形如这类题目的处理技巧是将二、三列加到第一列，第一列即可提出因式（5-），再用性质化上三角行列式即可。具体步骤如下：
（3）用行列式的性质可提出关于的因式。
例如求矩阵的特征值。此题教材上的步骤就是形如这类型题目的处理技巧是将第一行乘-1加到第二行，将第一行乘1加到第三行，第二行可提出因式1+，第三行可提出因式1+，此时3阶行列式计算结果只含有一个。具体步骤如下：
此题两行都提出关于的因式之后得到的3阶行列式是关于的一次多项式。若有些题目只能提出一个关于的因式，剩下的行列式是关于的二次多项式再分解因式也简单。
（4）以上3种都不是的技巧举例。
例如求矩阵的特征值。这道题每年布置作业的时候，部分同学跟参考答案一样直接写结果没有中间步骤，部分同学先把三次多项式算下来，再三次方程求根，计算过程很繁琐，也容易算错。还有同学干脆空着，没有算下去的信心。这种矩阵没有像前三种带明显特征，每个人的处理技巧可能都不同，选择的方法不同，计算难易度也不同。笔者用的技巧是对第二列用行列式分列相加性，具体如下：
2 结语
为了避免用的三次方程求根求不出来的情况，可以采用的解题技巧是，尽量通过行列式的性质先提出一个关于的因式出来，再将行列式展开成关于的二次多项式再分解因式就简单不易出错。
参考文献
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