教育技术装备内知识系统的建构和发展（续一）

来源:用户上传      作者:新乔 赵晓宁 任熙俊

　　（接上期）
　　4 数学方法：工具、语言及表达形式
　　用数学方式研究人们日常生活中易于理解的宏观世界，以及揭示后来的X射线、放射性和电子等人们没有直接经验的微观现象，表明人们对物质世界的认识在不断深入，也指导着科学教育的发展。[6]
　　牛顿时代，科学一般都被認为是“自然哲学”，其中只有光学和数学才被看作独立的学科。这种区分反映在所用的仪器上，它们被分成“哲学的”“光学的”和“数学的”三类。数学对教育技术装备的影响是普遍、深刻而又具体的，无论是发明、制造还是应用。数学内容、形式和方法全面融入、贯穿了整个教育技术装备知识体系，构成教育技术装备知识体系的基本内核和主要内在依据，如同材料、工艺、结构一样，它的影响无处不在。可以说，没有数学就没有教育技术装备的持久深入发展，包括它的体系化、知识化和教学属性。
　　实验方法与数学形式：科学方法和唯一的理性话语形式  近代科学形式分为数理科学与归纳科学两种形式。库恩在《必要的张力》一书中认为，物理科学发展中表现出数学传统和实验传统的对立。数理科学的代表人物主要有哥白尼、笛卡尔、伽利略、开普勒、牛顿等，分别在天文学、动力学、光学、数学和声学方面取得重大成就。归纳科学的代表人物主要有吉尔伯特、波义耳、胡克、富兰克林、卡文迪许、库仑、拉瓦锡等，分别在电学、磁学、热学、化学方面取得重大突破。
　　自然的数学结构是近代科学的先驱们深信不疑的真理，它的数学化的根源是自然内在的数学关系。虽然顶尖的分析学者都没有阐述一套明确的数学哲学，但在他们对诸如普遍性和纯粹数学与应用数学的关系那样一些论题的处理中，仍然明显表现出一种隐含的哲学态度，数学的每一部分被理解为是在某种客观的意义上被给予的;它的应用范围和确定性都由这种客观本性所导出，而不是数学家所采用的特定方法或者概念组合的结果。数学的普遍性是它的对象的普遍特征的结果，不论这些对象是代数公式还是几何图形。[3]275
　　通过数学，人们能够以完全客观的方式来了解宇宙的秘密。强调数学不仅发展了新的、不同形式的微积分、解析几何和其他先进的数学体系，还使得如下的观念深入人心：人类的语言在某种程度上是不完美的，一个真正理性的体系需要用数学语言（最初由霍布斯提出，他认为数学语言是唯一一种理性的话语形式。接着数学语言被诸如戈特弗里德·莱布尼茨和牛顿等思想家和科学家当作新的物理语言来使用，认为数学语言是理性至高无上的象征）表述。同时，对数学的重视也预示着人类最终能够通过数学语言全面地了解宇宙的本质，反过来，这使得人们甚至更加重视自然科学知识的探索。[7]
　　意大利数学家利昂纳多·斐波纳契（意大利数学家，约1170—1250年）的工作弥补了古代遗著的一大缺陷。无论是古罗马还是古希腊，所采用的数字都无法直接用于计算，人们在进行计算时必须借助于算盘之类的工具。阿拉伯数字原本是用来清算账目的，特别是在14世纪引入复式簿记以后更是如此。斐波纳契所著《计算手册》（1202年）一书成功地普及了阿拉伯的十进位数字系统，这种系统极为完美，因此一直沿用到现在。在其所著《平方手册》（1225年）一书中还论述了阿拉伯数字在纯数学中的应用。[8]42-43
　　到15世纪时又出现新的数学工具，两位德国天文学家乔治·范·帕巴赫（1423—1461）和约翰尼斯·穆勒（1436—1476）提出三角学的方法，并且制作了最早的三角计算表和天文数据表。克里斯多弗·哥伦布（1451—1506，意大利航海家、探险家）于1492年发现美洲，为科学打开一个新大陆。他在航行途中经常使用穆勒的天体位置表，从而不得不对世界的范围作彻底的修正，并且扩大到把所有的人类文化和前所未知的天然物种都包括在内。[8]43
　　伽利略成功地建立了关于运动的数理科学的基础。伽利略认为，自然界是按密码写就的，解开密码的钥匙是数学。在接受建立在几何简单性原理上的天文学时，伽利略同开普勒是一致的。对开普勒而言，天上的完美而永恒的运动为几何分析提供了用武之地。伽利略提出几何学也可以应用于地上的运动的主张，最终意思是地球应成为哥白尼体系中的一个天体物体。如果说伽利略在力学中致力于解决的基本问题是由哥白尼革命提出的，那么他在回答时形成的惯性原理，则为发展他青年时期的著作《论运动》所试图发展的关于运动的数理科学提供了方法。[2]21
　　拉普拉斯不止一次指出，天文学的成就是分析的胜利，他指的是数学和力学的分析。数学分析，这种意思部分地出自牛顿之口。牛顿说过：“哲学的全部困难看来在于：应该从运动现象研究自然界的各种力，然后由这些力说明其余的现象。”牛顿的方法是分析的，他的原理是用某种分析和分解的方法从观测和实验中抽取出来的。从这样建立的（可以修正的、具有“可能性”而不是“数学确定性”的）原理出发，然后再从数学上证明其结果。牛顿这种“新的探索方法”，就避免了求助于假设和诸如笛卡儿关于接触力那样的形而上学的承诺。[3]304
　　1798年，亨利·卡文迪什测得了万有引力定律常数值，同年发表论文《测定地球密度的实验》。他从物体之间的万有引力的测量结果间接计算出地球的质量，从而给出地球的密度。
　　17世纪就已经有著名的实验家，包括法国的埃德梅·马略奥特、英国的罗伯特·波义耳，还有在其1704年的《光学》一书中用一种给人印象特别深刻的方式把实验和数学结合起来的牛顿[9]51。1687年，牛顿出版《自然哲学的数学原理》，第一次正式提出万有引力定律，即两个物体间的引力与它们的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。[6]
　　实验的还是数学的，实际上一直都存在争论。一方面，伏尔泰及其《哲学通信》，英国哲学家培根、洛克和牛顿都曾说，不诉诸实验就不能从第一原理获得关于物理世界的知识;另一方面，直到整个18世纪，数学对于实验物理学的重要性争论仍未完全明朗。狄德罗、德·布丰，甚至还有本杰明·富兰克林，都谴责物理学中过多地应用数学，声称这会使科学家远离自然而错误地信赖抽象形式。孔多塞侯爵站在达朗贝尔一边，声称除了数学家，法国科学院没有任何人在做有用的工作，都是毫无价值的“Physicaille”—— 　　空谈的戏法和漫无目的的没事找事。这些争论涉及实验和数学之间的适当均衡，理智采取了一条中间路线，两者都被认为是处于理性范围之内，都是获得知识所必要的，应把实验和定量测量结合起来，让理论不断接受检验。[9]50-51
　　进入18世纪以后，在物理实验科学研究中，人们对热、磁、電等现象的研究还是定性的。一般地说，如何建立联系各个实验变量之间的数学关系，仍然是最不清楚的。18世纪末期，人们逐步采用定量的数学方法去研究这些现象，而这种数学方法还由于科学仪器精度的提高和物理学专业化程度的提高而得到进一步的发展。新的仪器带来的日益增长的精密度突出了不同测量间的不一致，但是18世纪的物理学家很少有人关心怎样对待这些不一致。18世纪的科学工作者在报告定量数据时，常常是不加评论地列出一长串数字，而事实上这些数字只是他们的数值计算的产物;或者，他们在少得惊人的证据的基础上宣称一些普遍性的结论。如库仑在他著名的1785年测定两个带电物体之间的力的定律的工作里，仅仅给出三组实验数据，而其中的一组甚至同他所提出的平方反比定律并不很好地符合。
　　实验误差的概念、数据的图示以及统计方法的运用则在19世纪得到发展[3]322。19世纪，实验和数学方法进一步在科学和教育中普及，并深刻地影响了人们的思维方式。约瑟夫·布莱克、A.L.拉瓦锡和拉普拉斯等人对热学的研究工作，T.迈耶、J.H.拉姆伯特和C.A.库仑对静电学的研究工作，都利用精细的实验测量和定量来作为衡量理论好坏的依据。静电学的定量化，建立了静电力的定律，这是精确实验检测和定量化研究方法的结晶，也是从方法论角度寻求建立数学定律的一个范例。[4]15
　　数学方法和思维方式在更实际的广阔主题范围和事务中随着时代发展得到不断普及。随着18世纪高深的数学（包括微积分）在法国的工科学校里第一次被列入教学计划，成为后来教育广泛遵循的一个范例，高等理论分析的可操作性和代数特征在一个更广的范围上反映在那些懂得数学本质和应用的“鲜明工具主义者”身上。之后在航海技术、实验物理学、工程学、植物学、人口统计学、政府事务和保险业务里，都表现出对于数量化和理性方法的日益重视。[3]265
　　数学分析：重要方法和依据  物理学有一种应用数学的传统，曾在很长时间并未被称为物理学，而被称为“混合数学”。在17世纪，物理学仍然被当作思辨哲学的一部分，在学校里用拉丁语传授;而数学则大多被作为实践科目，用本国语传授。如笛卡儿就是带着数学只在机械艺术上有用这种印象从大学毕业的。[9]50
　　就数学上的倾向而言，实验物理学只有能够使其规律进化成为定量分析的规律，才有价值[9]51。随着实验哲学的产生，数学分析的真正价值得以被揭示，分析的真正价值使得“科学革命”的巨大进展成为可能。伦哈德·欧勒，伟大的分析学家，创造了预测大梁和柱子的弯曲度的数学理论，设计出船壳、风帆、锚的最佳方案，提出多色棱镜理论，也提出描述震动绳和金属盘运动的各种理论，设计了水轮机和涡轮机，还有许多其他应用，但其重点始终放在数学与理论方面。新的分析法在天文学中的实践效果可谓立竿见影，如提高了天文表的精确性，创立了关于地球和其他天体的运动及其形状的新理论。[9]24
　　1）曲线研究。通过对依据一些力学运动定义的曲线的研究，数学和力学也取得进展。这些曲线当中最著名的是旋轮线。旋轮线早在17世纪就被帕斯卡（1623—1662）和惠更斯（1629—1695）研究过，是指在一个滚动的圆轮上的一个点的运动轨迹曲线。被研究过的其他类型曲线是悬链线（一根链子悬在固定两点之间的形状）、最速降线（一个物体在最短可能的时间内从一个点滑到不在同一垂直线上的另一点的路径）、渐伸线（当绳子从另一条曲线展开绳子末端的另一头的运动轨迹）和曳物线（物体被一根一端沿直线运动的绳拴住拖动在一个有阻力的水平面上的运动轨迹）。[9]30
　　很多问题促使数学家不断去完善已知的许多方法，一些问题则引出完整的新的分析领域。变分学致力于发现类似最大化或最小化性质的一些曲线或轨迹问题，这个学说始于牛顿试图发现对液体阻力最小的固体的形状。1696年，约翰·伯努利用它解决了最速降线的问题（证明了正确的曲线是旋轮线），使这个学说得以延续，而且由于伯努利兄弟约翰和雅可布（1654—1705）研究等周图形（基于给定周长，寻找最大面积的图形），这个学说得到极大的发展。解决此类问题的这些方法被欧勒归纳在他的《寻找具有最大或最小特性曲线的艺术》（1744年）—书中，拉格朗日在1750年代和1788年出版的《分析力学》中对其做了进一步的扩展和补充。[9]30
　　关于摆线运动的阐释尝试也为数学家提供了新的机会。1746年，达朗贝尔首先发现并解决了波动方程，而这为描述摆线运动提供了一个普遍适用的解法。这个问题要用到偏微分方程，即微分学中含有多个变量的方程，引发了关于数学函数本质的一些问题研究。欧勒完善了上述理论，并且曾就数学函数的定义问题和达朗贝尔发生论辩。达朗贝尔认为任何数学曲线，若想在微积分中充分地被描述，就必须像摆线一样：是连续的，没有任何断裂或绞缠，并且是在两个固定端点之间拉直。欧勒论辩说这些都是一些不必要的限制，数学函数能够描述任何曲线，哪怕是“手画的”一条线，只要函数按周期性的间隔定义。在这场特殊的论辩中，争论很快就超越了物理学问题，转向基本函数理论问题。[9]30
　　2）落体分析。对伽利略来说，重力或有重量性是物体的独特性质，并且他总是把重物向地心运动的倾向看作它们的固有运动。与此同时，伽利略确实成功地建立了关于运动的数理科学的基础，给匀速运动和匀加速运动下了定义，并用数学的术语对二者进行了描述。由于几何学所代表的正是他心目中的科学典范，他用几何比例而不是代数方程表达了他的结果，但是这些比例与涉及速度、加速度、时间和距离以及为今天的每一个力学新生所学习的、基本的运动方程是等价的： 　　v=at
　　s=1/2·at2
　　v2=2as
　　他也证明了，物体的所有相同的垂直平移运动，都经历了相同的加速过程，如果一个物体从静止开始自由下落，而另一个物体也从静止开始通过一个倾斜的平面下滑，通过倾斜平面下滑的物体也通过了相同的垂直距离（当然这意味着沿着倾斜的平面，它的路径更长，并且运动所花费的时间更多），它们获得的垂直速度相等。[2]23
　　3）有关光的理论。
　　①斯奈尔（1580—1626，荷兰科学家）定律。斯奈尔定律认为，任何均匀的透明介质都有其折射率n。设入射角为i，折射角为r，两种介质的折射率分别为n1及n2，它们之间存在下述关系：
　　n1sini=n2sinr
　　斯奈尔定律只考虑两种不同介质的折射率n1与n2的比值。在16世纪看来，所有的光线都是从地球大气层以外传播进来的，因此可以假设以太的折射率为1，于是便能够计算出任何其他透明介质的折射率大约是1.5。这项工作的影响十分深远，尤其是玻璃在仪器设施中的广泛应用。
　　图1中以一个平面来代表两种介质之间的界面，这是一种最简单的情况，如光线从空气中进入水中，或者进入玻璃的一个平面。[8]54-55
　　折射是光学中非常基本的一种现象，也可以说是波的物理学中的一种基本现象。“如果没有16世纪的数学，17世纪的物理学将一事无成。”当时德国的一位数学家雷蒂库斯（1514—1576，曾经促成了哥白尼的著作《天体运行论》译书的出版）领导着三角学领域的研究工作，他编制了正弦函数表，其中有的有效数字达到十进位制的15位。暂且不谈斯奈尔是怎样发现他的定律的，除了他自己进行的观察以外，雷蒂库斯的函数表显然也肯定了这一定律的正确性。[8]55
　　②笛卡尔：反射、折射定律与正弦定理。笛卡尔把光归到光的普遍原理中，这对其自然哲学的完善至关重要。事实上他所做的还不止这些，他还将更多的东西引入光学，认为太阳光的产生是漩涡中的物质运动的必然结果。[2]54
　　反射定律很容易由网球的例子推断出来。光的直线传播与网球被球拍打出后的惯性运动相似。通过将球的运动分解成一个与反射表面平行的分运动（它不会因为球的弹跳而改变）和垂直的分运动（它的方向会反过来），笛卡尔轻易地证明了反射角与入射角相等（见图2）。因为几个世纪以来人们早已知道了反射定律，所以无论认为这样的证明如何严密，它也很难说是一大成就。[2]54
　　笛卡尔这时开始写他自己的《曲光学》（1637年），把自己有关光的理论更具体化。从根本上讲，他认为光是由透明媒质瞬时地传递的一种压力。在《曲光学》一书中，他运用了盲人用来“看”东西的手杖这个比喻：当手杖碰到一块石头，手杖底端的运动就由棍子传到手上，于是盲人“看”到了路上的障碍物。既然自然界是一个充满物质的空间，可以认为透明媒质就是压在眼睛上的实在的物质。发光体产生的压力给视网膜留下印象，引起光神经的运动，运动被传到大脑，大脑将其解释为光。为了圆满地解释光，笛卡尔还运用了另外两个机械的类比，其中一个是把光比做网球的运动。他宣称因为压力是另一种运动趋势，因而它也会遵循一样的运动规则。毋庸赘述，他是想运用这一类比来导出反射与折射定律。[2]54-55
　　然而，折射却是另外一回事。如果说有折射定律，当时人们也还不知道。笛卡尔用同样的方法来研究折射，他用一块布代替了反射面，这块布代表折射的两种媒质的界面，球要从这一界面穿过（见图2）。假设光在第二种媒质中的传播要慢于在第一种媒质中的传播。笛卡尔认为所有的速度变化都发生在表面，而且所有的速度變化都与球通过时所具有的垂直运动相关。由这些前提得出结论，他进而指出对光被折射到第二媒质时的所有入射角来说，入射角的正弦与折射角的正弦成比例。[2]56
　　笛卡尔对发现“曲光”弧面，即可使光线折射并汇聚于焦点的折射表面的形状感兴趣。望远镜的使用清楚地说明，球形透镜不能使平行光线汇聚于焦点。人们既然早已知道光线汇聚于焦点，经抛物柱面反射可汇聚于焦点，自然而然地会尝试用其他圆锥面来代替抛物面镜。通过研究椭圆面及双曲面，笛卡尔可能已经发现他在《曲光学》一书中所证明的内容，即假设光按正弦定理折射，则椭圆面或双曲面形透镜可汇聚平行的光线。由于没有人愿意磨制真的椭圆面状或双曲面状的透镜来检测这个定理，这个证明本身也就不成为使人接受正弦定律的理由。[2]56-57
　　但另外一个经过证明的结果则促使人们接受了正弦定理。在他的论文《气象学》中，笛卡尔指出，一次虹从不会出现在高于41°37′的天空，而二次虹不会在低于51°37′
　　的天空出现。其证明的依据是正弦定理，而观察也证实了这个结论[2]57。
　　（未完待续）
　　本文为全国教育科学“十二五”规划2011年度教育部重点课题“中国教育技术装备发展史研究”（课题批准号：DCA110188）部分研究成果“近代欧洲教育变革与教育技术装备缘起：教育技术装备的知识系统——内环境建构”（节选）。
　　作者：新乔、赵晓宁、任熙俊，《中国教育技术装备》杂志社（100081）。
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