旋转矩阵在移动机器人建模教学中的应用

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　　摘  要 移动机器人因其可在较大工作空间完成特定作业任务而受到广泛应用。在其平面运动学教学过程中，很多教科书采用单位复数u（θ）≡ejθ作为刚体运动学建模的工具。然而，该算子难以明显地反映出旋转变换的几何学和运动学的物理含义。为此，将三维旋转矩阵简化到二维空间，并用于移动机器人的运动学建模教学过程。该教学思路符合多刚体系统建模和矩阵计算分析的整个理论框架和求解方案，有利于不同专业背景学生的理解和掌握。
　　关键词 移动机器人;平面运动学;机器人建模;旋转矩阵
　　中图分类号：G642    文献标识码：B
　　文章编号：1671-489X（2020）08-0087-03
　　1 引言
　　近年来，随着以“工业4.0”和“中国制造2025”为代表的第四次工业革命的兴起，人工智能与机器人正发生不断深入的有机融合，广泛应用于工业、农业、服务业以及科研、教育领域。与固定于某一位置操作的工业机器人相比，移动机器人能够通过传感器感知环境和自身状态，实现在有障碍物的环境中面向目标的自主运动，并完成一定的作业功能[1]。移动机构决定了移动机器人的运动能力和特性，主要有轮式、履带式、腿足式和蠕动式等。轮式移动机构具有结构简单可靠、能量利用率高、高速稳定、易控性和操作性好、通过性和平顺性好等优点[2]。其中，差速轮式移动机器人（Differential-driving Wheeled Mobile Robots， DWMR）的一个显著优势是不需要额外的转向机构，仅通过改变两个驱动轮的行走速度即可操纵机器人的运动方向[3]，因此在机器人工程专业人才培养时成为一个典型的移动机器人教学对象。
　　为了适应“中国制造2025”制造强国战略对智能制造高端技术人才的迫切需求，南京航空航天大学面向全校不同专业的学生适时开办了“机器人科学导论”国际课程。来自不同专业背景的学生在“矩阵论”“理论力学”“机械原理”和“控制工程基础”等领域知识方面具有较大差异。为了保证落实“宽口径、重基础”的智能制造复合型人才培养目标，需要深入研究面向跨专业学生群体的移动机器人建模教学方法。
　　2 教學现状
　　移动机器人作为机器人的一个分支，其教学方法仍可沿用工业机器人的多体系统运动学/动力学教学方法。对于仅在地面运动的轮式机器人，特别是在结构化人工环境中运行的场景，其运动过程可简化为平面运动方式。在其平面运动学教学过程中，很多教科书[4-5]都采用了单位复数u（θ）≡ejθ的工具，其中j为虚部。并且，当θ=θ（t）时，有：
　　进一步地，还可表达为：
　　公式（1）说明的向量形式垂直于u（t）的向量形式。公式（2）和（3）说明自然分解为两个正交分量，第一项和第二项分量分别垂直和平行于向量u（t）。
　　虽然u（θ）作为一个算子，通过逆时针旋转θ角度，恰当地将一个复数z=x+jy变换到另一个新的复数，然而在笔者看来，这个算子难以明显地反映出旋转变换的几何学和运动学的物理含义。在教师给学生讲解平面运动学的教学过程中，如果可引入二维旋转变换矩阵，那么在实平面上采用复数表达这些点及其变换，则是一个本不需要的技巧。
　　3 旋转矩阵
　　在大多数高校，机器人专业课程一般开设于大三下学期或大四上学期。为了便于学生理解移动机器人的平面运动学建模过程，教师可首先回顾大学“理论力学”中的刚体运动学教学内容。当描述某刚体B在三维空间中的方位时，设置一直角坐标系{B}与此刚体固连。用坐标系{B}的三个单位主向量xB、yB、zB相对于惯性坐标系{A}的方向余弦组成的3×3阶矩阵表示刚体B相对于坐标系{A}的方位[6]：
　　其中，称为旋转矩阵，上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表与刚体B固连的坐标系。由于矩阵的三个列向量、、都是单位向量，且两两相互垂直，满足以下正交条件：
　　其次，教师将移动机器人作为建模对象引入教学过程中。当轮式机器人在地面上运动时，建立如图1所示的三维运动坐标系。其中，x轴指向移动机器人的前进运动方向，y轴指向移动机器人的侧向，z轴垂直于地面向上。定义移动机器人绕z轴逆时针旋转α角度的运动为偏航运动，绕y轴逆时针旋转β角度的运动为俯仰运动，绕x轴逆时针旋转γ角度的运动为翻滚运动，则偏航运动、俯仰运动和翻滚运动的旋转矩阵分别为：
　　最后，如果轮式机器人运行在地面足够平坦的结构化环境中，则可将其运动过程简化为平面运动方式，沿z轴的垂直运动以及俯仰运动和翻滚运动可忽略。因此，三维空间中的刚体运动学可简化为平面运动学。相应地，偏航运动可简化为在平面内绕z轴逆时针转动的二维旋转矩阵：
　　正如Bottena等所指出[7]，二维旋转矩阵Q2还可表示为：
　　Q2=cosα12+sinαE2            （11）
　　其中，12为二阶单位矩阵，E2为：
　　并且，E2可视为在平面内绕z轴逆时针旋转90°的二维旋转矩阵，即E2=Q2（90°）。
　　由式（10）和（12）可知，轮式机器人在平面内绕z轴转动的二维旋转矩阵在数学形式上非常简单，在物理意义上十分明确，在几何图示时易于表达。这种对旋转矩阵从三维到二维的降维处理，使得轮式机器人建模教学对学生的背景知识要求不高，仅需要二维的刚体运动学知识和基本的矩阵论概念，有利于学生深入理解和熟练掌握作为建模工具的二维旋转矩阵。
　　4 机器人教学应用
　　为了进一步说明二维旋转矩阵在平面运动学教学过程中的应用，本文以DWMR的运动学建模为例进行详细分析。在差速驱动结构中，两个独立驱动的驱动轮同轴安装于尾轴的两侧，一个万向随动轮自由铰接在移动机器人底盘前端的中心线上。为了方便运动学分析和多刚体建模，DWMR的机构简图表示为由多个转动副连接的机械刚体系统，如图2所示。DWMR底盘由一个T型刚体表示，两个驱动轮通过穿过点O1和O2的旋转轴活动连接于底盘。一个万向轮支架通过垂直转向轴连接于底盘P点。万向随动轮通过一个穿过点O3的水平转轴安装于万向轮支架上。 　　在图2中，点C为底盘的质心，点M为线段的中点。并且，在惯性坐标系中，分别定义点C、M、O1和O2的位置向量为c、m、o1和o2。另外，ω为底盘绕z轴逆时针转动的角速度标量。为了进行DWMR的运动学分析，定义一个与DWMR底盘固连的移动坐标系F，Y轴指向DWMR运动方向，Z轴指向垂直向上方向。单位向量i、j、k分别平行于X、Y、Z轴。
　　假设DWMR三个车轮的半径都为r，两个驱动轮的角位移分别为θ1和θ2，则点O1和O2的速度为：
　　并且，质心点C的速度向量可在运动平面内表示为：
　　其中，E2为式（12）定义的二维旋转矩阵。
　　假设两个驱动轮的间距为2l。先将式（13）代入式（14），再分别用i=1时的式（14）两边减去i=2时的式（14），可得：
　　因此，DWMR的角速度標量为：
　　假设点C和点M的距离为a，点C和点P的距离为b。先将式（13）代入式（14），再分别用i=1时的式（14）两边加上i=2时的式（14），可得点C的速度为：
　　进一步，定义DWMR底盘的平面运动旋量[8]为：
　　定义DWMR驱动关节角速度[8]的二维向量为：
　　因此，DWMR的差速运动学正模型可表示为：
　　其中，3×2阶的旋量形矩阵T为：
　　分析上述平面运动学教学过程，最为关键的一步是利用二维旋转矩阵建立了驱动轮中心的速度向量与底盘质心速度向量之间的向量关系式，如式（14）所示。该方法既摆脱了简单的标量（代数）建模方法在二维平面内对运动方向描述不足的缺点，也避免了采用相对抽象的复数建模工具和相对复杂的三维刚体运动学建模方法，有利于来自不同专业背景的学生掌握。在“机器人科学导论”国际课程中，来自航空学院、能源与动力学院、自动化学院、机电学院、材料学院、民航学院、理学院和经济管理学院等不同专业的多名学生，积极参与该移动机器人建模的教学实践过程，建立了DWMR的差速运动学正模型，求得了类似于工业机器人运动学的Jacobian矩阵的旋量形矩阵T，如式（21）所示，取得预期的教学效果。
　　5 结语
　　在上述移动机器人运动学建模过程中，采用二维旋转矩阵计算其质心点C的速度向量，几何学和运动学的物理含义明确，符合多刚体系统建模和矩阵计算分析的整个理论框架和求解方案，最终获得移动机器人的差速运动学正模型，建立移动机器人底盘的运动旋量与驱动关节的速度向量之间的物理联系。该教学思路符合多刚体系统建模和矩阵计算分析的整个理论框架和求解方案，有利于广大学生的理解和掌握。
　　参考文献
　　[1]蔡自兴，贺汉根，陈虹.未知环境中移动机器人导航控制理论与方法[M].北京：科学出版社，2009.
　　[2]付宜利，徐贺，王树国，等.沙地环境移动机器人驱动轮的发展概况综述[J].机器人技术与应用，2004（4）：22-29.
　　[3]WU X， Angeles Jorge， ZOU T， et al. Steering-angle computation for the multibody modelling of differen-tial-driving mobile robots with a caster[J].Interna-tional Journal of Advanced Robotic Systems，2018：1-13.
　　[4]Uicker J J， Pennock G R， Shigley J E. Theory of Machines and Mechanisms[M].4th ed. New York-Oxford： Oxford University Press，2011.
　　[5]Cleghorn W. L， Dechev N. Mechanics of Machines[M].New York-Oxford： Oxford University Press，2005.
　　[6]熊有伦.机器人技术基础[M].武汉：华中科技大学出版社，1996.
　　[7]Bottema O， Roth B. Theoretical Kinematics[M]. Amsterdam： North-Holland Publishing Company，1978.
　　[8]安杰利斯.机器人机械系统原理：理论、方法和算法[M].宋伟刚，译.北京：机械工业出版社，2004.
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