明确原因 分类讨论
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作者: 戴三红
分类讨论既是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．本文拟通过几个实例，帮助同学们明确分类讨论的原因，提高分类讨论的意识，从而提升解决问题的能力．
一、分类定义的概念、性质和公式导致分类讨论
例1函数ｆ（ｘ）=ax （ａ＞0，ａ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值大，则ａ＝．
错解： 由题意可知，ａ2-ａ＝，解得ａ＝或ａ＝0 （舍去），故ａ＝．
错因分析： 同学们都知道指数函数和对数函数是单调函数，但往往会把它们误认为增函数． 实际上，只有当底数ａ＞1时，指数函数和对数函数才是增函数；当底数0＜ａ＜1时，指数函数和对数函数是减函数．
正解： 当ａ＞1时，函数ｆ（ｘ）=ax单调递增，∴ ｆ（ｘ）ｍｉｎ=ｆ（1）＝ａ， ｆ（ｘ）ｍax=ｆ（2）＝ａ2，由ａ2-ａ＝解得ａ＝或ａ＝0 （舍去）；
当0＜ａ＜1时，函数ｆ（ｘ）=ax单调递减，∴ ｆ（ｘ）ｍｉｎ=ｆ（2）＝ａ2， ｆ（ｘ）max=ｆ（1）＝ａ，由ａ-ａ2＝解得ａ＝或ａ＝0 （舍去）．
综上可得，ａ＝或ａ＝．
例2已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Sｎ＝-4ｎ2+2ｎ-3，求数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ．
错解：ａｎ＝Sｎ-Sｎ-1＝-4ｎ2+2ｎ-3-［-4（ｎ-1）2+2（ｎ-1）-3］＝-8ｎ+6．
错因分析： 由数列｛ａｎ｝的前n项和Sｎ求通项ａｎ时，ａｎ＝S1，ｎ＝1；Sｎ-Sｎ-1，ｎ≥2. 错解忽略了ｎ＝1的情况．
正解： 当ｎ＝1时，ａ1＝S1＝-4+2-3＝-5；当ｎ≥2时，由错解得ａｎ＝-8ｎ+6． ∴ ａｎ＝-5，ｎ＝1；-8ｎ+6，ｎ≥2.
评注： 数学中有不少概念、性质和公式是分类定义的，如指数函数和对数函数的单调性、等比数列的前ｎ项和、由数列的前ｎ项和Sｎ求通项ａｎ、绝对值问题等. 解答含有分类定义的问题时，都需要进行分类讨论．
二、几何形状或位置不确定导致分类讨论
例3解关于ｘ的不等式：ａｘ2-（ａ+1）ｘ+1＞0，其中ａ∈R．
错解： ∵ ａｘ2-（ａ+1）ｘ+1＝ａ（ｘ-1）ｘ-＞0， ∴ 当<1即a<0或a>1时，不等式的解为x<或x>1；当≥1即0．
错因分析：我们知道，从函数的图象可以得出不等式的解． 错解把不等式对应的函数图象默认为开口向上的抛物线，实际上，不等式对应函数的图象还可能是开口向下的抛物线或一条直线．
正解： 当a=0时，不等式可化为-x+1>0，解得x<1.
当a>0时，不等式可化为（ｘ-1）ｘ->0. 当<1即a>1时，不等式的解为x<或x>1；当=1即a=1时，不等式无解；当>1即0.
当ａ＜0时，不等式可化为（ｘ-1）ｘ-＜0，此时<0，解得<ｘ＜1．
综上可得，当ａ＜0时，不等式的解集为，1；当ａ＝0时，不等式的解集为（-∞，1）；当0＜ａ<1时，不等式的解集为（-∞，1）∪，+∞；当a=1时，不等式的解集为；当ａ＞1时，不等式的解集为-∞，∪（1，+∞）．
例4已知向量＝（ｋ，12），＝（4，5），=（10，k），问是否存在实数k，使得△ABC为直角三角形？
错解：由题意得=（4-ｋ，-7），＝（10-ｋ，ｋ-12）， ∵ •＝（4-ｋ）•（10-ｋ）-7（ｋ-12）＝ｋ2-21ｋ+124＝ｋ-2+＞0，∴不存在ｋ使得△ABC为直角三角形．
错因分析：错解把∠A默认为直角，而△ABC的三个角都有可能是直角，因此需要分类讨论．
正解：若∠A为直角，由错解知不存在ｋ，使得△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形.
若∠B为直角，则＝（ｋ-4，7），＝（6，ｋ-5），由•=6（ｋ-4）+7（ｋ-5）＝0解得ｋ＝． 即当k=时， △ABC是以点B为直角顶点的直角三角形.
若∠C为直角，则=（ｋ-10，12-ｋ），＝（-6，5-ｋ），由•=-6•（ｋ-10）+（12-ｋ）（5-ｋ）＝0解得ｋ＝8或ｋ＝15． 即当ｋ＝8或ｋ＝15时，△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形．
综上可得，当ｋ＝或ｋ＝8或ｋ＝15时，△ABC为直角三角形．
评注：二次函数图象的开口方向不确定，函数的零点位置不确定，直角三角形的直角顶点不确定，点在线（面）的同侧异侧不确定……当几何形状或位置不确定时，都需要进行分类讨论．
三、条件限制导致分类讨论
例5已知函数ｆ（ｘ）＝2ａｘ2+2ｘ-3-ａ，ａ∈R，若函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点，求a的取值范围．
错解一：由ｆ（-1）ｆ（1）＝（ａ-5）（ａ-1）≤0解得1≤ａ≤5， ∴ 当1≤ａ≤5时，函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点．
错解二： ∵函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点， ∴ Δ=4-4•2a（-ａ-3）＝8ａ2+24ａ+4≥0，解得ａ≤--或ａ≥-+．
错因分析：在错解一中，“ｆ（-1）ｆ（1）≤0”只是“函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点”的充分不必要条件，函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点时，ｆ（-1）ｆ（1）也可能大于零．如ａ＝6时，ｆ（ｘ）＝12ｘ2+2ｘ-9，函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点ｘ＝，此时ｆ（-1）ｆ（1）=5>0．
在错解二中，即使ｆ（ｘ）是二次函数，“Δ≥0”仍然是“函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点”的必要不充分条件. 当Δ≥0时，二次函数ｆ（ｘ）的图象有零点，但零点不一定在区间［-1，1］上． 变量的取值区间限制导致了分类讨论.
正解： 当a=0时，ｆ（ｘ）=2x-3. 此时ｆ（ｘ）的零点为x=?埸［-1，1］，∴ a≠0.
当ｆ（ｘ）为二次函数即a≠0时，由ｆ（ｘ）＝2ａｘ2+2ｘ-3-ａ得ｆ（-1）ｆ（1）＝（ａ-5）•（ａ-1），当ｆ（-1）•ｆ（1）≤0即1≤ａ≤5时，函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点.
当ａ＞5时，ｆ（-1）＝ａ-5＞0，ｆ（1）＝ａ-1＞0，要使函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点，必有ａ＞5，Δ=4-4•2a（-ａ-3）≥0，ｘ＝-∈［-1，1］. 解得ａ＞5.
当ａ＜1时，ｆ（-1）＝ａ-5＜0，ｆ（1）＝ａ-1＜0，要使函数在区间［-1，1］上有零点，必有ａ＜1，Δ=4-4•2a（-ａ-3）≥0，ｘ＝-∈［-1，1］. 解得ａ≤--.
综上可得，当ａ≤--或ａ≥1时，函数ｆ（ｘ）在区间［-1，1］上有零点．
评注： 根据限定区间上的最值、零点等条件求二次函数的参数是常见的需要分类讨论的问题，此外，排列组合问题中的插空、捆绑等限制性条件也会引起分类讨论. 在遇到限制性条件问题时，应充分考虑条件的特殊性，准确把握分类对象和分类标准.
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