积分第一中值定理的推广研究

来源:用户上传      作者:

　　摘 要：伴随时代的不断发展，数学同样在快速进步。积分中值定理对于微积分的学习有着非常重要的作用。本文就积分第一中值定理的推广进行深入地研究。
　　关键词：积分第一中值定理；推广；应用
　　DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197
　　1 积分第一中值定理
　　定理1 如果在上连续，那么至少有一点，使得：
　　证 因为在上连续，所以其有最小值与最大值。由：
　　运用积分不等式性质可得：
　　根据连续函数的介值性可知，至少有一点，使得：
　　定理2 如果在上连续，那么至少有一点，使得：
　　证 因为在上连续，繼而在上可积。将其原函数定位，那么按照存在定理便能够获悉，在上连续，同时在上可导，依据拉格朗日中值定理可知存在一点使得：
　　可得：
　　2 积分第一中值定理的推广
　　2.1 积分第一中值定理的改进
　　定理3 如果在上连续，那么至少有一点，使得：
　　成立。
　　证明：令，由于在上连续，因此在上连续，在内可导，同时可得，对在内由拉格朗日微分中值定理得：至少有一点，使得：
　　即
　　例1 若上连续，非负，严格单调减函数，证明：
　　证明：根据定3可得：
　　（2-1）
　　（2-2）
　　根据公式（2-1）、（2-2）两边乘以得：
　　由于，因此，又因在内连续，非负函数，
　　因此 。
　　2.2 推广的积分第一中值定理的改进
　　定理4 如果、在内连续，同时在内不变号，那么至少有一点，使得：
　　证明：假设满足，则：
　　（1） 在时，以上等式成立。
　　（2）在不恒等于0时，那么至少有一点，使得，由连续性知。
　　又因在内连续，进而必然存在着最小值与最大值，即：
　　进而 （2-3）
　　1）假设公式（2-3）中左边等号成立，也就是：
　　（2-4）
　　或者
　　在内连续，同时，那么在内便有。
　　由于不恒等于0，因此必然有一点，使得，即，那么在上至少有一点使。
　　依据公式（2-4）得。
　　2）假设（2-3）右边等号成立，同理也可证得结论成立。
　　3）假设（2-3）严格不等式成立， 即：
　　因为，则有：
　　由连续函数的介质性定理知在上至少存在一点使得：
　　或
　　因此能够证明定理2成立。
　　3 结论
　　综上所述，本文针对积分第一中值定理的定义、改进以及推广等进行了详细的研究，使得人们对积分第一中值定理有了大概的了解。
　　参考文献：
　　[1]郑权.积分第一中值定理中间点的一般渐近性质与求积公式[J].大学数学，2004（12）.
　　[2]杨雅迪.关于积分第一中值定理推广的探讨[J].科技信息，2010
　　（10）.
　　作者简介：黄瑞芳（1980-），女，河南新郑人，硕士研究生，讲师，研究方向：数学。
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-14696933.htm