投资的收益和风险的优化研究

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　　摘要：本文建立了投资的收益与风险的投资组合方案，使净收益尽可能大，且总体风险尽可能小。1 风险越大，收益越大。2 当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题义一致。即，冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
　　关键词：投资；收益与风险
　　1 问题的提出
　　现在我们有一定的资金，想在市场中进行投资，投资每个项目有一定的的收益和风险，怎么计划我们的投资使我们得到最大的收益，而使我们所经历的风险最小是一个值得讨论的问题。
　　市场上有n中资产S （i=1，2，……，n）可以选择作为投资项目，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n中资产在这一时期内购买S 的平均收益率为r ，风险损失率为q ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可以用投资的S 中最大的一个风险来度量。
　　购买S 时要付交易费（费率p ），当购买额不超过给定值u 时，交易费按购买u 计算。另外，假设同期银行存款利率是r （ r =0.005），即无交易费又无风险。
　　试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择的购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，且总体风险尽可能小。
　　2 基本假设
　　1 投资数额相当大，为了方便计算，假设M=1；2 投资越分散，总的风险越小；3 总体风险用投资项目S 中最大的一个风险来度量； 4 n中资产S 之间是相互独立的； 5 在投资这一个时期内，r ，q ，p ，r 为定值，不受以为因素影响；
　　6 净收益和总体风险只受r ，q ，p 影响，不受其他因素干扰。
　　3 符号设定
　　S ——第 i中投资项目，如股票，债券
　　r ，q ，p ——分别为S 的平均收益率，风险损失率，交易费率
　　u ——S 的交易定额 r ——同期银行利率
　　x ——投资项目S 的资金 ——总体收益的增量
　　Q——总体收益
　　4 模型分析與模型建立
　　1 总体风险用所投资的S 中的最大一个风险来衡量，即max{q x |i=1，2， …，n}.
　　2 购买S 所付交易费是一个分段函数，即
　　交易费= ，
　　而问题所给定的定值u （单位：元）相对投资M很小，p u 更小，可以忽略不计，这样购买的净收益为（r —p ）x 。
　　3 要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型：
　　目标函数： max
　　in{max{ }}
　　约束条件 x >=0， i=1，2， …，n
　　4 模型简化：
　　a. 在实际投资中，投资者承受风险的程度不同，若给定一个界限a，使最大的一个风险q x /M<=a ，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线形规划。
　　模型1 ：固定风险水平，优化收益
　　目标函数：Q=max 约束条件：
　　， x >=0， i=1，2， …，n
　　b. 若投资者希望总盈利至少达到水平以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。
　　模型2 固定盈利水平，极小化风险
　　目标函数：R=min{max{ }}
　　约束条件： ， x >=0， i=1，2， …，n
　　c.投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合，因此对风险收益赋予权重，称为投资偏好系数。
　　模型3 引进权重
　　目标函数：min S{max{ }}-----（1---S）
　　约束条件： x >=0， i=1，2， …，n
　　5 模型的求解
　　我们给出一些数据，按照模型1进行求解，数据如下：
　　6 结果分析
　　由计算结果和图可得到以下结论：1 风险越大，收益越大。2 当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题义一致。即，冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
　　参考文献：
　　[1]运筹学教程.胡运权.北京：清华大学出版社，1995
　　[2]数学模型.姜起源 谢金星.高等教育出版社2003
　　[3]数学建模.徐全智 杨晋浩.高等教育出版社2003.7
　　[4]数学建模及试验.王冬琳.国防工业出版社2004.5
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