高观点下初等数学的内涵及实现途径探析
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摘 要：高观点下的初等数学指的是，用较高的视角或较高的观点研究初等数学，分析相关概念、思想和方法及现代数学与初等数学之间的联系。本文从知识掌握中的增生和重建两个阶段，进行梳理和分析，阐述高观点下初等数学的实现途径。
关键词：高观点 初等数学 实现途径 数学核心素养
一、“高观点下初等数学”的研究背景
随着数学在现实生活和科技发展中的广泛应用，提高学生的数学素养引起了数学教育研究的普遍关注[1]。落实发展学生数学素养，关键是要帮助学生学会“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”。为了有效地进行数学素养培养，“我们必须掌握学生的数学思维活动的一般方法和规律，而这又需要有关于数学思维活动的一般方法和规律的理论指导，即需要数学方法论的指导”[2]。 “‘贯彻数学方法论的教育方式’并非在课堂上向学生讲授数学方法论或数学观，而是把数学观、数学方法论的思想有机地融入数学教学中”。 “克莱因强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导‘高观点下的初等数学’意识”[3]。即追求“高观点下初等数学”的教学，“教师在向学生传授具体数学知识的过程中，要注意发挥数学知识中所包含的數学思想方法的作用，向学生充分展示数学知识的获得过程”。建构“高观点下初等数学”教学，是为了让学生经历相应的数学思维活动过程，发展学生数学核心素养。
二、“高观点下初等数学”的概念界定
“高观点”不是狭隘的大学数学知识，而是将经典高等数学和现代数学的知识、思想以及方法融入进去，用高等数学的视角看待中学数学，用更高层次的思想方法剖析中学数学产生的问题”[4]。本文把高观点下的初等数学理解为：用简单或通俗易懂的方法介绍并且适当补充与初等数学知识密切相关的现代数学内容，用较高的视角或较高的观点研究初等数学，分析相关概念、思想和方法及现代数学与初等数学之间的联系。具体来说，高观点下初等数学能深入研究疑难问题、简化复杂问题;引导学生对数学思想方法的挖掘和应用;能居高临下地看待初等数学中的具体问题。这样，教师在数学教学过程中，要以“高观点初等数学”为背景，努力引导学生对数学学习过程中所包含数学思想方法的领会，从而既能使教学变得更有成效，又能更好地发挥学生的认知潜能。
三、高观点下初等数学教学实现的途径
“高观点视角下剖析初等数学问题，将会使问题显得更加清晰、透彻”。能帮助学生“从本质上看问题，对于复杂的事物、现象，有意识地区分主要因素与次要因素、本质特征与表面现象”，从而培养数学核心素养中的数学抽象。教师在常规教学中，“如何运用高等数学的知识，从更高的层面重新认识初等数学中重要的概念、理论及背景，如何运用高等数学的方法统一解决初等数学中一类问题，更深刻地认识初等数学与高等数学之间的内在联系”。以期在“高观点”指导下，“使学生通过特定学科知识、技能的学习，思想、价值的熏染而获得面对自我、他者以及世界所应具备的重要思维品质、观念和能力。”本文将立足于课堂教学实践，从知识掌握的前两个阶段[3]：增生和重建，进行梳理和分析，就高观点下初等数学教学的实现途径谈谈自己的看法。
1.增生阶段，借助数学史，在“高观点”的指导下完善认知
“这一阶段学生接触到各种各样的知识，包括名词、术语、事件、理论解释等，它们的抽象程度千差万别，相互之间的联系性也不明显，对学生来说它们好像是外来的”。如果通过附加式运用数学史，“展示数学家的图片，讲述数学家的故事;或介绍数学概念、数学术语、数学符号等的来源[3]”，在这个过程中获得分析学生数学思维过程的启发，这样才能使教学符合学生的认知规律。
例如，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图1三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”，揭示了二次项（=1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即
从认知的角度看，高观点下数学教学对学生认知结构的发展在以下两个方面发挥作用：第一，为学生的数学认知结构的发展确定方向和目标。通过附加式引用数学史，让学生对二项式展开后的系数形成整体感知。因此，在高观点下数学教学中，教师应根据学生现有数学认知结构的特点和水平，引导学生模仿科学家构建学科理论、原理时所用的思维模式和策略，把掌握增生阶段的数学知识，作为教学的主要目标。第二，为发展学生良好的数学认知结构提供一定的环境和条件。在常规教学中，教师要立足于学生已有的数学认知结构，使其作为同化新知识的前提，从而帮助学生进行认知活动。例如，在学习完全平方公式时，教师可以提供直观背景材料——“杨辉三角”，使学生对公式有理性认识，并将获得的知识进行归类和组合，最终形成一个便于操作的知识体系。
2.重建阶段，建立相应联系，在“高观点”的指导下重视迁移
重建阶段，指的是“由于重复接触和由此产生的经验的作用，一些观念和其他观念建立了联系” [2]。如何使学生掌握的数学知识能以某种方式联系在一起，我们可以尝试迁移，并其在解决各种数学问题中发挥作用。这种作用具体表现在，“使学生习得的各种数学知识建立更加广泛而牢固的联系，形成具有稳定性、清晰性和可利用性的数学认知结构，并逐渐向能够自我生成新数学知识的方向发展” [2]。
例如，德国数学家克莱因（F.Klein，1849-1925）在他的名著《高观点下的初等数学》中提出了一个著名的悖论，说明了欧几里得《几何原本》缺陷的影响。
上面关于几何悖论的解决过程，实质是一个数学知识的相互作用、逐渐整合的过程，属于同化性迁移。同化性迁移过程，根本特点是，“已有数学认知结构作为一种上位结构，把处于下位结构中的新知识吸收到自身中去，从而完成旧知识对新知识的同化。[2]”从上面证明过程可知，在“高观点”的指导下要实现有意义学习方式，需要重视迁移。因此，学生具有相当的元认知水平（本文只要涉及证明三角形全等方法），可以达到在多种情境中迁移的程度。例如，在面临新的学习情境中（证明：任何三角形都是等腰三角形），学生能主动地寻求当前情境与已学知识之间的联系，通过运用已有数学知识对当前情境进行分析概括，探索出解决问题的策略。在数学教学中，则要根据学生心理变化的特征和规律，将数学核心素养的培养与高观点下初等数学教学结合起来，把高观点下初等数学教学实现落实在课堂教学之中。
参考文献
[1]康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015（03）：8-11.
[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2000：13.
[3][德]菲利克斯·克莱因著.高观点下的初等数学（第二卷）几何[M].舒湘芹，陈义章，杨钦樑译.复旦大学出版社，2008：1.
[4]曹雪薇.中学数学中的“高观点”探究[D].辽宁师范大学，2017.
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