拉格朗日乘子法在初等数学及Holder不等式中的应用

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　　【摘要】拉格朗日乘子法在高等数学条件极值的求解过程中起着非常重要的作用，本文将利用拉格朗日乘子法给出初等数学中柯西不等式的一个新证明，进一步，我们利用拉格朗日乘子的思想给出实变函数中Holder不等式中的一个新证明， 希望这些新应用引起大学生们对拉格朗日乘子法的广泛兴趣。
　　【关键词】拉格朗日乘子法  柯西不等式  Holder不等式
　　【基金项目】国家自然科学青年基金 （11601190）， 江苏省自然科学基金青年基金 （BK20160483），江苏基础研究基金（16JDG043）。
　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）19-0135-01
　　柯西不等式初等数学中一类非常有用的基本不等式， 而Holder不等式则是大学数学系的数学分析[1]，实变函数[2]以及泛函分析[3]课程中的一类非常重要且很基本的不等式。经典的柯西不等式以及Holder不等式看起来并没有什么关联。本文将结合笔者的教学经验，利用拉格朗日乘子思想给出柯西不等式与Holder不等式的一个新证明。
　　1.拉格朗日乘子法（以二维为例）
　　拉格朗日乘数法是数学分析中寻找多元函数在某些约束条件下极值的方法。考虑二元函数z=f（x1，x2）在条件G（x1，x2）=0下取极值的问题。高等数学中的拉格朗日乘子法告诉我们， 该问题可以转化为下面的三维无约束条件极值问题：
　　在实际教学实践中， 拉格朗日乘数法的价值显然被很多同行老师以及大学生们严重低估了。实际上，该方法不仅是在初等数学和数学分析中起着非常重要的应用，而且在其他的领域也发挥着极其重要的作用，例如， 在优化领域拉格朗日乘子法可以用于研究凸规划问题，而在非线性偏微分方程领域，该方法则可以用来研究微分方程的解的存在性。笔者希望通过给出上面的一些应用，让大家对拉格朗日乘子法给出更多的关注。
　　参考文献：
　　[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社， 2001.
　　[2]周民强.实变函数[M].北京大学出版社，2008
　　[3]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[M].北京大学出版社，  2006
　　作者简介：
　　朱茂春（1982-），男，汉族，江苏镇江人，博士研究生，讲师，研究方向：偏微分方程理論。
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