浅析用放缩法证明数列不等式的策略

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　　摘 要：数列以及不等式是高中数学的两个重要模块，同时也是历年高考必考的两个内容.其中数列类型的不等式是高考重点考察的一个类型，同时也是一个难点。因为对数列类型的不等式进行证明构造性强，而且思维跨度大，主要对考生思维具有的严谨性加以考查。对这类问题加以解决期间，经常用到的方法就是放缩法。基于此，本文旨在探究通过放缩法来对数列类型不等式加以证明的方法，希望给实际教学提供相应参考。
　　关键词：数列不等式 放缩法
　　借助放缩法来对数列类型不等式加以证明，可以实现化繁为简，进而提高解题效率。所以，进行复习教学期间，数学教师可带领高中生总结归纳用放缩法对数列类型不等式加以证明的方法，进而做好备考准备。
　　一、借助基本不等式进行放缩
　　例如，设 .证明： .
　　证明：设数列通项是 ， .
　　因为 ，
　　所以 ，即 .
　　评析：借助放缩法对不等式加以证明，需要对放缩的度加以把握。在上述例题当中，对不等式的右边进行证明时，主要通过基本不等式进行放缩，即 .如果放缩成 ，那么 ，这样就放过了度。
　　二、借助二项式定理进行放缩
　　例如，设数列 的前 项和是 ，且满足 ， ，并且 ， ， 成等差数列。求证：对于所有正整数 ，都有 .
　　证明：根据已知条件很容易得到 .
　　由于
　　所以 .所以 .
　　评析：此题主要是通过二项式定理把数列 的通项公式进行适当放缩，这样放缩之后可以借助等比数列前 项和公式进行顺利求和，进而对不等式加以证明。
　　三、借助函数具有的单调性进行放缩
　　例如，证明：对于任意的正整数 ，都有 .（其中 是自然对数）.
　　证明：从左边看，可以将其看作是數列 的前 项和，其中 。从右边来看，可以将其看成是数列 的前 项和 。
　　当 之时， ；
　　当 之时， ，适合上式，所以 （ ）.
　　原问题的等价形式是：当 之时，求证 成立，即求证 .所以可设 ，那么 .
　　当 之时， 恒成立，所以函数 在 上为增函数。所以， .即 （ ）.
　　分别令 ，相加可得 .
　　结语
　　综上可知，用放缩法对数列类型不等式加以证明是高考经常考察的一个重要内容，同时也是一项难点内容。一般可以通过基本不等式、二项式定理、定积分以及函数的单调性来对这类不等式加以证明。所以，数学教师需带领高中生一同对证明这类不等式的方法加以归纳总结，这样才可促使学生对这类问题具体解答方法加以扎实掌握，促使其在高考当中获得较好成绩。
　　参考文献
　　[1]张利平.利用放缩法解决“数列+不等式”问题[J].中国农村教育，2018（18）：102-103.
　　[2]陈斌，杨彩清.数列不等式放缩法——由一个自招题谈数列放缩的解题策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（21）：40-43.
　　[3]张建虎.用放缩法证明数列不等式中不可忽视的一个问题[J].数学教学，2016（08）：31-36.
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