数形直观描述 发展逻辑思维

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　　【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）13-0112-02
　　【案例主题及其内涵】
　　1.案例主题：通过《找次品》的课例让学生懂得——明晰逻辑推理思维和化归思想方法。
　　2.案例内涵：
　　小学阶段正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，尤其是高年段时期的学生更需要帮助发展抽象逻辑思维的时期。要发展学生的智力必须重视发展孩子们的逻辑思维能力，因为逻辑思维能力是一个人的智力核心。培养和发展学生的各种能力，特别是初步的逻辑思维的能力，是小学数学教学的主要任务之一。
　　（1）发展逻辑推理 提高观察能力
　　在学习过程中培养和实践中锻炼出人的观察能力，往往是通过直接的体验，积累对各种实践活动的感性认识，可以培养学生对事物进行科学观察的能力和习惯。但是，观察力是科学探究的基础，在实验操作中观察才能发现问题和规律。例如：看一看、试一试、摸一摸等认知特点，《找次品》老师提出要求去观察：课件出示：有2个乒乓球中其中1瓶质量稍轻的次品，如果利用没有砝码的天平（同时出示天平图）至少要称多少次才能保证找到次品？学生的专注力就会集中并思考，带着问题进行有序地观察操作过程 ，分析有关的原理和联系。促进数学高层次思维发展，这个逻辑推理也推动学生观察力的发展。
　　（2）发展逻辑推理 几何拓宽思路
　　逻辑推理是借助几何直观来辅助理解的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出的十大核心词之一是几何直观。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学。利用图形描述和分析问题，最直接的方式就是用线段图或示意图把抽象的数学问题直观地表示出来。《找次品》这节课本人有意识地引导学生尝试用画直观图、流程图一层一层地表示物品放在天平上平衡或不平衡。
　　【案例描述与分析】
　　1.案例描述
　　（1）尝试猜测，理解题意
　　课件出示243瓶木糖醇中混入一瓶质量稍轻的次品，如果中能利用没有砝码的天平（同时出示天平图）至少要称多少次才能保证找到次品？
　　师：猜一猜：要称几次？
　　生：1次
　　师：怎么称？
　　生：不一定1次，运气好才1次，运气不好的要称好多次。
　　师：到底是从运气好的角度考虑还是从运气差的角度考虑？
　　生：从好运的角度考虑，因为题目有“至少”。
　　生：从运气差的角度考虑，因为题目有“保证”。
　　师：到底要称多少次呢？这里面是否存在一定的规律？（板书：找次品）
　　[ 设计意图：通过猜测让学生带着悬念去思考，引出学生用自己的语言去理解“至少、保证” 两个词的意思 。]
　　（2）化繁为简，初步感知
　　师：面对比较复杂的问题，我们通常怎么做？
　　师：对！化繁为简是解决问题的一种好方法，我们不妨从2瓶开始研究。
　　课件出示：有2瓶钙片中其中1瓶质量稍轻的次品，如果利用没有砝码的天平（同时出示天平图）至少要称多少次才能保证找到次品？
　　要求学生会表述：把两个物品分别放在天平两端，出现不平衡，向上的次品。用天平演示一次。
　　如果用图表示2（1，1）（板书）
　　[设计意图：分散难点，学生容易理解天平不平衡是怎么回事，引导学生用规范语言表述和引出简单的图形来表示。]
　　把“2”换成“3”。 用符号表示3（1，1，1）
　　要求学生会表述：把两个物体分别放在天平左右两端，如果平衡的次品就是剩下的一个，如果天平不平衡，上升的是次品。
　　师：也称几次？
　　师：为什么也只称一次？第3份明明没有称过为什么也能确定？
　　生：因为第三份是根据前两份的情况，推理出来的。
　　小结：看来运气好和运气差的都只称一次就能确定3个物品中哪个是次品。
　　[设计意图：先加强语言的表述和图形表示，关键是让学生2个物品和3个物品进行对比，导出：“为什么都只称一次？”发展学生的逻辑推理能力]
　　（3）在操作中感知推理思路
　　出示：8个零件里有1 个是次品（次品重一些）。假设用天平称，至少称几次能保证找出次品？
　　师：你认为天平两边可以怎么放？有几种分法？
　　生：天平两边各放4个。
　　师：可以用数字记录下来吗？（师板书）8（4，4）
　　生：还有天平两边各放1个，外面还有6 个。 8（1，1，6）
　　生：天平两边各放2个，外面4 个。8（2，2，4）
　　生：天平两边各放3个，外面2个。 8（3，3，2）
　　[設计意图：让学生建立天平的表象，思考分法，再次加深对图示法的理解。]
　　师：想一想哪一种分法称的次数最少？
　　请动手摆一摆，把你的思考记录下来（硬币代表零件）
　　[设计意图：用真实的天平来称硬币，学生可以体会到重是天平沉下去，次品就在哪边。用直观手段支撑了抽象思考]
　　学生汇报
　　板书：
　　①8（4，4）→4（2，2）→2（1，1）3次
　　②6（1，1，6）→                 运气好的1次
　　→6（3，3）→3（1，1，1）保证找到至少3次
　　③8（2，2，4）→2（1，1）      运气好的2次
　　 →4（2，2）→2（1，1）保证找到至少3次 　　④8（3，3，2）→3（1，1，1）
　　→2（1，1）       无论哪种都是2次
　　[设计意图：再次规范学生的表述语言，从中加深理解“至少和保证”。]
　　师：比较这四种分法，称的次数最少的是哪一种？为什么这种分法称的次数会最少？
　　请认真观察：分成3份比2份次数更少，2份只能3次，3份有可能小于3次。这几种都分3份，每份之间相差越少，找次数越少。 比较第一次称完后的数，从中你明白了什么？
　　小结：剩下的越少，次品的范围就越少，就越容易找到次品。
　　[设计意图：引导学生认真带着问题观察对比。得出分成3份比2份次数少]
　　师：现在研究8（3，3，2）这种分法有什么特点？
　　生：天平上两份与外面的那份只差1，很接近。剩下的最少。所以8（3，3，2）这种分法称的次数最少。
　　结论：分成3份，每份尽量接近。（板书）
　　[设计意图：再次观察发现规律：尽量平均分成3份，不能平均分成3份的，有一份多1或2份。]
　　（4）练习：①出示9个零件里有1 个是次品（次品重一些）。假设用天平称，至少称几次能保证找出次品？请大家用图表示。
　　师：综合8和9两种情况，你觉得找次品的最优的方法是什么？
　　②返回：243瓶怎样分？生：除以3
　　结果是多少？81 。天平左右两边各放81个，外面放81个，继续怎样？
　　[设计意图：与课前首尾呼应，让学生真正学而致用。从不同数量中找次品时，都不用列出全部过程，直接比较第一次分的结果，就能准确判方法的优劣。]
　　2.案例分析：
　　本案例《找次品》是人教版五年级下册的数学广角的内容，是一节智力思考的探究课，是落实四基多维目标的很好载体。本节课的教学是通过引导和让学生经历操作等活动，利用“天平平衡”的原理找到次品，再进一步从不用天平，运用数学符号表示方法，清晰地用语言表达数学思维过程，进行合理推理，掌握基本的逻辑推理和化归的思想方法，学会优化策略。
　　（1）如何实现思维培养
　　①猜测中理解题意
　　题中“至少称几次就能保证找到次品”是什么意思？，从字面上解释会使人糊涂的，感觉它“至少”，又要“保证”。课开始就让学生猜一猜：243瓶木糖醇中混入一瓶质量稍轻的次品，如果中能利用没有砝码的天平（同时出示天平图）至少要称多少次才能保证找到次品？
　　有学生说称1次，也有学生反对，运气好才1次，运气不好的次品不在天平上怎么是1次。这时，老师问：“到底从运气好的角度考虑，还是从运气差的角度去考虑？”学生再次争辩，激发学生思维出来。有的说从运气好的去考虑，因为有“至少”，有的说从运气不好去考虑，因为要“保证”。学生用俗语理解“至少”就是运气好，“保证”就是运气不好。题意的难点通过问题引导激发争论，理解了“至少”“能保证”的含义。“能保证”是每一条可能的路径都要考虑到。“至少”是在保证一定能找出次品各种方法中称量次数最少的那种方案。
　　②用规范语言分散难点
　　本节课设计从简单的2 瓶钙片和3瓶钙片中分别找较轻的次品。学生容易明白怎样分的，这环节是侧重用规范的语言表述，让学生容易领会到：把两个物品分别放在天平左右两边，天平上升的是次品。3个物品也会表述，为多个物品的环节铺垫，可以一边说一边操作，学生学起来轻松多了。接着，继续引导学生进行简单推理：为什么第三份不用称就能确定？激发学生思考用上已有的生活常识和推理经验，第三份是根据前两份的情况推理得出。
　　③自主探究中突破难点
　　出示例题：8个零件里有1 个是次品（次品重一些）。假设用天平称，至少称几次能保证找出次品？当时，想到学生对硬币比较熟悉，找了一堆1元硬币和10个1元的港币，分成10个小组，每组有一座天平和7个1元硬币和1个1 元的港币。让学生按照课本112页探素的表格进行小组分工合作完成探究各种分法。
　　④比较优化策略
　　学生操作探究后，进行各小组汇报，老师根据学生的回答把方法列出来。要求他们观察比较这几各种称法，有意识引导学生发现规律。第一层次发现分成2份比3份的称的次数多。第二层次发现同样分成3份，有的还是要称3次，只有8（3，3，2）这种分法，怎样称都是2次。再次引导学生发现：每份的个数尽量平均分，不能平均分的，每份的个数相差最少，称得次数是最少。
　　本节课是通过猜测、比较、验证等活动，探索解决问题的策略，渗透优化思想，感受解决问题策略的多样性，学生的逻辑能力得到提高。  本人也有意识地引导学生尝试用画直观图、流程图，并配以文字说明的方式表示逻辑推理的过程，使学生逐步学会用数学化的方式表达思维过程。练习中也要不断引导学生学习用符号、文字直观、简洁地表达或表示思维过程，使学生潜移默化中学会数学地表达，有意识地培养思维的条理性和准确性。
　　（2）课后建议与改正
　　①合理使用教材，精读教材内容，领悟编者的目的，再结合本班情况适当改动。例如：本节课可以直接改为4个物品里找次品入手，可能对下一步的8个物品里找次品更容易理解。
　　②善于设置一些可以调动学生的积极性，引起他们的注意力的问题。例如：最后应该加用一个问题来总结本节课：你们觉得在生活中如果要检测一大批从外表上看不出区别的零件找少量的次品，是选择一个一个用砝码放在天平上称，还是用今天学的知识不用砝码，把这堆零件平均分成3份来称？
　　③多一个反验证环节，例如：在分析9个物品里找次品，再次放手让学生不平均分成3份的次數是不是超过2次？
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