阈值自适应选取的小波包降噪研究

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　　摘 要：基于信号和噪声的不同特征，提出一种阈值自适应选取的小波包降噪方法。该方法首先对信号进行小波包变换，利用噪声剩余率确定分解层数，采用对数能量熵选择最优基，然后采用阈值自适应选取的方法对高频系数进行分析。利用该方法进行降噪，不仅能够提高系统的信噪比，而且能够降低系统的重构误差。
　　关键词：小波包变换;阈值自适应选取;信号降噪
　　实际中的测量信号，不可避免的含有一定的噪声。噪声的幅值和频率达到一定程度，就有可能会淹没有用信号，使得后续的研究无法进行。因此，对实际观测的信号进行有效的降噪具有重要的实际意义。[1 3]
　　在时频域，小波多分辨率分析具有良好地表征信号局部特征的能力，但其只对信号的低频系数进行分解，高频段的频率分辨率较差，降噪效果不理想。小波包变换是小波变换的进一步扩展，不仅能对高频系数进一步分解，而且能根据信号特征自适应选择频段，因此在信号降噪领域获得了广泛地应用。在小波包信号降噪的过程中，分解层数、最优基及阈值的确定比较关键，本文根据信号和噪声的不同表现特征，分别给出了对应的计算公式和选择规则，具有一定的实用性能。
　　1 小波包变换原理
　　假设用u0（t）=φ（t）表示正交小波函数，u1（t）=ψ（t）表示尺度函数，那么其关系可用双尺度方程表示，如下公式：
　　u 2n （t）=2∑k∈Z hkun（2t-k）
　　u 2n+1 （t）=2∑k∈Z gkun（2t-k）（1）
　　其中，hk，gk表示正交小波多分辨分析的滤波器系数。式（1）所定义的函数集合un（t），n=0，1，2，......即为u0（t）所确定的小波包。
　　小波包分解是小波分析的进一步扩展，可以对高频部分精细划分，从而提高信号的时频分辨率，对信号的时频特征进行有效的显示。
　　假设实际观测的信号为：
　　f（t）=s（t）+η（t）（2）
　　其中，s（t）为原始信号，η（t）为高斯白噪声。
　　令P10=f（t），那么经过小波包分解变换后的近似系数和细节系数可以表示为：
　　近似系数：p 2i-1 j（t）=Hpi j-1 （t）
　　细节系数：p 2i j（t）=Gpi j-1 （t）（3）
　　其中，H和G分别表示低通滤波器和高通滤波器，pij表示第j层小波包分解得到的第i个小波包。
　　小波包分解能够为信号分析提供更详细的信息，若要得到某一层的小波信号，需要对小波包进行重构，重构公式如下：
　　pij（t）=H*p 2i-1j+1 （t）+G*p 2ij+1 （t）（4）
　　其中，H*和G*分别为H和G对偶算子。
　　通过以上分析可以看出，小波包分解能够保留信号不同频率段的成分，并对高频信号进一步分解，在提高高频部分频域分辨率的同时，保证了信息的完整。
　　2 閾值自适应选取的小波包信号降噪
　　小波包能够对变换后每一层的低频和高频部分进行细分，局部刻画能力更加精确，因此可以对观测信号进行有效的降噪。利用小波包分析对信号进行降噪，可以分为四步：
　　Step1：选择正交小波包，对观测信号进行 J层分解。
　　Step2：基于给定的熵标准计算最佳树。
　　Step3：选择合适的阈值对每一层的小波分解系数进行量化。
　　Step4：根据小波包分解近似系数和阈值量化分析后的高频系数重构降噪信号。
　　在以上降噪过程中，小波分解层数的确定、小波基的选择、阈值函数的选取都能不同程度的影响降噪效果。针对每一个环节，本文进行了具体的分析。
　　首先，根据小波包变换后各个分解层重构近似信号的噪声剩余率确定最佳分解层数。
　　设第j层小波包分解近似信号为p0j，j=1，2，3，……，J，各层分解近似信号的平均值为AvgP=∑p0j/J，那么各个分解层的噪声剩余率可以表示为：
　　ηj=p0j-AvgPf-Avgp×100%（5）
　　通过分析，当噪声剩余率最小时，分解层数达到最佳，降噪效果最好。
　　其次，最优小波包基的选择。最优小波包基能够利用少量的数据表征尽可能多的信息，一般通过定义使得相应的信息代价函数最小进行选择。由于信号和噪声的能量差别较大，本文以对数能量熵作为代价函数，其定义如下：
　　E（pi jk ）=log（pi jk ） 2（6）
　　其中，E（0）=0，E（pij）=∑pij。熵值反映了状态的均匀程度，值越小，状态越不均匀。最优基的选择能够保证信息损失最少。
　　在小波包降噪的过程中，最重要的环节是阈值的选取和量化。如果采用同一阈值对系数进行选取，当分解层数较小时，包含的噪声较多，当分解层数较大时，会将有用的低频信息去掉。为了克服上述弊端，本文采用阈值自适应选取的方法对各个分解层的高频细节系数进行分析。自适应阈值选取公式如下：
　　wj=σj2log（N）/j（7）
　　其中，N为信号的长度，σj为信号在各个尺度上的方差。
　　观测信号经过小波包变换后，高频系数的能量随着分解层数的增加逐渐减小，和自适应选取的阈值变化趋势相同，因此自适应选取的阈值能够很好的对高频系数中的有用信息进行提取，在保证信息完整的同时，提高降噪的性能。
　　3 结论
　　为了提高实际观测信号的降噪效果，本文提出了一种基于小波包的信号降噪方法。该方法以信号和噪声不同表现特征为依据，对小波包的降噪过程进行了具体的分析，不仅给出了最佳分解层数和最优小波包基的选择方法，而且给出了自适应阈值选取的改进公式。该方法具有一定的实用性，能够对实际观测信号进行有效的降噪。
　　参考文献：
　　[1]Molaie M，Jafari S，Moradi M H，et al.A chaotic viewpoint on noise reduction from respiratorysounds[J].Biomedical Signal Processing and Control，2014，10：45 249.
　　[2]刘云侠，刘培超，初振云，王克生.一种改进的模极大值混沌信号降噪方法.山东科技大学学报，2016，35（5）：14 120.
　　[3]刘云侠，王克生.混沌信号降噪算法评价准则研究.教育现代化，2016（31）：194 195.
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