基于差分方程的高压油管压力控制

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　　摘  要：文章针对高压油管的压力控制问题，构建了基于差分方程的凸轮角速度确定模型、基于函数模型的单向阀控制方案，综合运用MATLAB、Eviews等软件编程求解，得出了恒压下凸轮角速度、喷油规律和多种情况下减压阀的控制方案等结论。
　　关键词：高压油管;差分方程;压力控制;数据拟合;流体力学
　　中图分类号：TK423 文献标识码： 文章编号：2095-2945（2020）07-0025-04
　　Abstract： In this paper， aiming at the pressure control problem of high pressure tubing， a CAM angular velocity determination model based on difference equation was built， and a one-way valve control scheme based on function model was built. By using MATLAB， Eviews and other software programming， the oil injection law of CAM angular velocity under constant pressure and the control scheme of pressure reducing valve under various conditions were obtained.
　　Keywords： high-pressure oil pipe; difference equation; pressure contral; data fitting; hydromechanics
　　燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，燃油经过高压油泵从一处进入高压油管，再由喷口喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，甚至会引起失效和故障。对高压油管进行相应的压力控制可以在一定程度上提高发动机的工作效率，具有重要的意义。
　　1 数据来源与模型假设
　　数据来源于2019年高教社杯数学建模比赛A题，包括凸轮边缘曲线、针阀运动曲线以及弹性模量与压力关系的相关数据。为便于解决问题，提出以下几点假设：（1）假设凸轮表面光滑，作连续等速转动;（2）假设高压腔的容积不会因内部高压油的作用而发生膨胀[1];（3）假设针阀升程满足周期性变化，且每个周期内的变化情况相同;（4）假设高压油泵和出油阀的密封性良好[2]。
　　2 基于差分方程模型对凸轮角速度的确定
　　2.1 研究思路
　　对整个高压燃油系统的高压油泵、高压油管及喷油嘴分别进行状态分析，然后建立相应的差分方程模型，目标是最小化进出高压油管的燃油质量之差，根据公式ω=，由给定具体的周期T′，得到對应的ω;再将ω带入差分方程模型，依次递归得到相应的△m，拟合△m与ω的图像，求出当进出高压油管的燃油质量之差为零时，其对应的凸轮转动角速度。
　　 2.2 模型建立
　　2.2.1 高压燃油系统三部分状态分析
　　（1）高压油管
　　高压油管内的燃油可以看作是一维非定流动的，则高压油管内的燃油满足质量守恒、动量守恒以及燃油的可压缩性方程[3-4]
　　其中，s为油管的横截面积，ρ为密度，P为压力，u为燃油在管内流动的速度，μ为燃油动力粘度，x为油管内燃油在时间t内流过的距离，t为燃油流动的时间，F为作用在受控流体上的流动阻力的合力。
　　（2）高压油泵
　　根据附件1中给出的凸轮[6]极径与极角的关系，可以判断出题中未说明的极点的位置和极轴的方向如图2所示。
　　 高压油泵中柱塞供油量随凸轮转角的变化而变化，对应油量体积的变化[5]为
　　 其中Vmax为柱塞最大供油量，VCL为柱塞运动到上止点位置时柱塞腔残余容积，θ为凸轮转角，hp为柱塞升程，Aρ为柱塞截面积，np为凸轮的转速。
　　（3）喷油嘴
　　根据附件2针阀运动[5]曲线可以将一个喷油周期分为四个阶段，即针阀上升阶段（0～0.44ms），稳定喷射阶段（0.45～2ms），针阀关闭阶段（2.01～2.45ms），针阀完全关闭到燃油完全断流阶段（2.46～100ms），此时将喷油量计算公式调整为：
　　其中Kop为开关系数，当针阀升程为0时，Kop=0;当针阀升程大于0时，Kop=1。
　　2.2.2 模型准备
　　首先确定从针阀喷油嘴处喷出的油量，（4）式中的A即实际喷油孔的面积仍未知，下面将对其进行确定：
　　其中，S为针阀底部所在圆锥横截面与针阀底面积的差值，A为实际喷油孔的面积，H为针阀的升程，h0为针阀升程为0时喷孔距针阀的距离，β为密封座圆锥的半角即9°，D为针阀直径，d为喷孔直径。
　　后求解高压油泵的容积，凸轮驱动柱塞上下运动时，凸轮的转角θ与角速度ω存在以下关系：
　　θ=ω×t （6）
　　联立公式（3）（6）可以确定某段时间内柱塞上升的高度hp。此过程中高压油泵的燃油体积的变化量VZ可表示为：
　　其中，VZ为高压油泵燃油变化的体积，DZ为柱塞腔的直径
　　rmax为极径的最大值，rmin为极径的最小值，得到高压油泵的容积后，当柱塞运动到下止点时，低压燃油会充满柱塞腔，压力为0.5MPa。根据附件3中给出的数据对弹性模量E与压力P之间的函数关系利用Eviews软件进行最小二乘法拟合，得到弹性模量E与压力P之间的函数关系：E=1379.21+8.86P，后根据题目中给出的当压力为100MPa时，燃油的密度为0.850mg/mm3这一条件解出此时唯一的不确定的参数-不定积分后出现的常数c，最终得到燃油密度与压力之间的关系式为：ρ=0.455（P+15.533）0.113，将压力为0.5MPa代入式中，从而得出此时泵内的燃油密度，进而得到泵内低压燃油的质量。 　　2.2.3 建立差分方程模型
　　模型准备完成后，根据题意知，高压油管内压力恒定，得到进入高压油管和喷出高压油管的燃油质量相等，故建立目标函数：
　　m入表示一个周期进入高压油管的燃油质量，m出表示一个周期流出高压油管的燃油质量;
　　为解决问题我们选择建立差分方程模型进行求解，用差分方程模型来推算燃油泵里一个周期内各个时刻的压强Pi，对于燃油泵，取t=0时刻，柱塞降至最低点，仍以0.1ms为一个差分间隔
　　其中mbi表示第 时刻（i=1，2，3…n）高压油泵中的燃油质量，ρbi表示第i时刻高压油泵中的燃油密度，Pbi表示第i时刻高压油泵中的燃油压力。
　　2.3 模型求解
　　由于高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口，凸轮驱动柱塞上下运动，故柱塞的升程与凸轮的极径密切相关，附件1中给出了凸轮边缘曲线与角度的关系，据此画出柱塞升程在一个运动周期内（即凸轮的一个转动周期内）的变化如图3所示。根据附件二中给出的一个喷油周期内针阀升程与时间的关系，可知喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.44ms，将附件二中数据结合公式（4）、（5）使用MATLAB画出喷油器工作时从喷油嘴B处向外喷油的速率随时间的变化图如图4所示。
　　接下来求解差分方程模型，目标是最小化进出高压油管的燃油质量之差，根据公式ω=，给定具体的周期T′：10ms，20ms，30ms，40ms，50ms，得到对应的ω;将五个ω带入微分方程模型，依次递归得到相应的△m，后拟合△m与ω的图像，关系如图5。
　　 根据拟合出的曲线，可求出，当△m=0时，即高压油管内的压力稳定在100MPa左右时，凸轮的角速度ω=61.908rad/s，即凸轮每秒约转动9.8圈。
　　3 基于函数模型的控制方案
　　3.1 研究思路
　　问题三可以分成两种情形下的高压燃油系统，一是在问题二基础上，再增加一个喷油规律相同的喷油嘴，此时考虑建立凸轮转动角速度与喷油嘴喷油频率间函数模型;另一种情形是再在此基础上增加一个单向减压阀，此时考虑建立高压油泵与减压阀控制模型，得到凸轮转动角速度与喷油嘴喷油频率及单向减压阀工作效率三者之间的关系。
　　3.2 模型建立
　　3.2.1 增加一个喷油嘴时的情形
　　根据题意，先在问题二的基础上增加一个喷油嘴，并且两个喷油嘴的喷油规律相同。
　　 3.3 模型求解
　　3.3.1 增加一个喷油嘴情形时的求解结果
　　给定1s中单个喷口喷油次数n1：1次，2次，3次，4次，5次，得到对应的每0.1ms中喷出的油的质量m（单位：mg）。运用差分思想，以0.1ms为差分间隔，实现同第二问一样的差分过程，得到满足△m=0的ω;对n1，ω进行拟合，得到图像与关系如图6。
　　最终得到ω=0.058n12+1.94n1+50.78，根据上述关系式可以给定具体凸轮转动角速度ω，喷油次数n1，进而得到具体的喷油和供油策略。例如，控制凸轮角速度ω=52.778rad/s，一个喷油嘴一秒钟喷油的次数n1=1次，即可以实现高压油管的压力稳定在100Mpa。
　　3.3.2 再增加一个单向减压阀情形时的求解结果
　　相较于第一小问，增加了变量td，表示一秒钟内减压阀的打开时间，同样给td：0.001ms，0.002ms，0.003ms，0.004ms，0.005ms，由对应的n1，td求出每0.1ms中喷出的油的质量m（单位：mg）。运用差分思想，以0.1ms为差分间隔，实现同第二问一样的差分过程，得到满足△m=0的ω;对n1，ω，td进行拟合，运用cftool工具箱进行拟合，得到图像及三者之间的关系式如图7。
　　最终得到ω=44.35+3.234n1+9444td，根据上述关系式可以给定具体凸轮转动角速度ω，喷油次数n1，单向减压阀在一秒钟工作的时间td，进而得到具体的高压油泵和减压阀的控制方案。例如，控制凸轮角速度ω=57.028rad/s，一个喷油嘴一秒钟喷油的次数n1=1次，单向减压阀在一秒钟工作的时间td=0.001ms，即可以实现高压油管的压力稳定在100Mpa。
　　4 模型评价
　　（1）本文主要建立差分方程模型，代替微分方程描述，在方程中避免了导函数，可以用迭代的方式求解。
　　（2）建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提的问题进行求解，使得模型更贴近实际，通用性，推广性较强。
　　（3）通过差分方程模型求解出来的结果没有通过微分方程模型求解的结果精确。
　　参考文献：
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