微积分教学过程中易错点解析

来源:用户上传      作者:白明月

　　摘 要：极限和导数是微积分课程中的两大类重要知识点，在后续课程的学习和一些考试中经常用到，其中有一些知识点在平时的学习中如果不注意，就容易出现错误，本文主要归纳在极限和导数的解题过程中容易出现错误的几个易错点，并结合例题进行解析。
　　关键词：微积分;易错点;解析
　　微积分是经管类大一新生的一门必修课，上学期主要学习了极限和导数两大类知识点。极限的计算中又包括很多类型的函数极限的计算，针对不同类型的函数极限，分别用到很多不同的方法，如对于连续函数，可以用直接代入法;对于分式的分母极限为0，分子极限不为0的函数极限，结果为;分式的分子与分母极限都为0时，可以用消零因子法、有理化法和变量代换法;分式的分子与分母极限都为，则要用“抓大头”法求极限。在求函数的导数的计算中，一些复杂的函数的极限要特别注意，比如求复合函数和隐函数的导数。以上这些知识点，其中有一部分在做题过程中很容易出现错误，本文给出几种易错点的解析。
　　一、乱用“抓大头”法求极限
　　对于lim多项式多项式为型未定式的极限，除了可以用洛必达法则，还可以用“抓大头”法，即分子分母同时除以最高次数项。但是有一部分同学，看见多项式多项式这一类型的函数极限，不进行分析，就直接用“抓大头”法，这样有可能就會出现错误。
　　二、乱用等价无穷小量代换求极限
　　在求极限的计算中，如果有无穷小量，而且无穷小量的运算中只有乘除运算没有加减项运算，我们就可以用等价无穷小量代换来求极限，但是用的过程中一定要注意几点：首先必须是无穷小量才能进行代换，其次等价无穷小量代换只能用于乘除运算，不能乱用公式。
　　三、判断分段函数在分段点处的可导性
　　在判断分段函数在分段点处是否可导时，有些同学会对两个函数分别直接求导，计算函数值来判断左右导数是否相等，这样做是有问题的，因为前提条件是判断在分段点处是否可导，那就有可能是不可导的，因此就不能直接用求导公式来计算导数，而应该用左右导数的定义来计算。
　　四、复合函数求导时分解不彻底
　　大家都很熟悉复合函数的求导公式，简单来说就是外函数的导数乘以内函数的导数，只要找对内函数和外函数，分别求导再相乘就可以了。这里易错的地方主要在两方面：外函数和内函数找不对，分解不彻底。
　　例如（sin22x）′，首先要找到外函数和内函数，外函数为y=u2，内函数为u=sin2x，而内函数又是复合函数，再分解为u=sinv，v=2x，这时就分解彻底了。
　　五、隐函数求导不对内函数求导
　　隐函数求导是所有函数求导中最容易出现错误的，其实经过总结就会发现，大部分出错的地方，错就错在没有把关于y的函数当成关于x的复合函数来看待，在隐函数的求导中，关于y的函数就好比是早餐吃的包子，包子馅是隐含在包子皮里面的，函数y=y（x）是隐含在复合函数中的，因此求导时除了对外函数求导，还要对内函数y求导。
　　这里用了无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量这个结论。
　　以上就是极限和导数在解题过程中的几个易错点解析，教师在教学过程中，除了要给学生讲清楚重点和难点之外，还要指明易错点，这样学生在做题过程中才能有效的避免出现类似的错误。
　　参考文献：
　　[1]赵树源.经济应用数学基础（一）——微积分（上册）[M].第四版.北京：中国人民大学出版社，2016，6.
　　[2]黄磊.极限运算中常用方法易错点解析[J].重庆电力高等专科学校学报，2016（21）：14-16.
　　[3]李尤发.《微积分》知识点中一些常见难点之剖析和解法[J].考试周刊，2016（36）：47-48.
　　作者简介：白明月（1987-），女，河南开封人，硕士研究生，助教，教师，主要从事数学教育方面的研究。
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