数列通项公式的解法

来源:用户上传      作者:刘玲香

　　数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般較难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
　　1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.双数列9.周期型
　　数列通项公式的求法
　　一、直接法
　　根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
　　例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
　　（1）9，99，999，9999，…（2）
　　（3）（4）
　　答案：（1） （2） （3）  （4）.
　　二、公式法
　　①利用等差数列或等比数列的定义求通项
　　②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.
　　（注意：求完后一定要考虑合并通项）
　　例2.①已知数列的前项和满足.求数列的通项公式.
　　②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.
　　③ 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。
　　③解析：由题意，，又是等比数列，公比为
　　三、归纳猜想法
　　如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。
　　例3.已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…
　　（1）写出与之间的关系式（）。
　　（2）设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。
　　解析：（1）∵ 是线段的中点， ∴
　　猜想，下面用数学归纳法证明
　　变式：设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…
　　（Ⅰ）求a1，a2;（Ⅱ）{an}的通项公式
　　四、累加（乘）法
　　对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
　　五、取倒（对）数法
　　a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解
　　b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出
　　c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
　　六、迭代法
　　迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.
　　七、待定系数法
　　求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
　　八。双数列
　　解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
　　例4. 已知数列中，;数列中，。当时，
　　九、周期型
　　解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
　　小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。
　　总结方法比做题更重要！方法产生于具体数学内容的学习过程中.
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