借助几何图形 丰富直观体验
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作者:白宗化
“几何直观”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一，在数学学习中有重要的地位和意义。“几何”即几何图形。“直观”就是借助经验、观察、测试或类比联系，所产生的对事物关系的直接的感知与认识，通过直观能建立起学生对自身体验与外物体验的对应关系。在实际教学中，几何直观可以把复杂的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。本期，我们来讨论如何提高学生的几何直观能力。
几何直观是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它既是一种意识，也是一种能力和思维方式。教师可以借助几何图形，帮助学生理解数学，丰富直观体验。
一、借助几何之形，表达代数之意
借助于几何直观，不仅可以让抽象的代数问题变得直观，而且可以让抽象的代数算法、算理得到生动的诠释和展现。
在教学《绝对值》时，笔者首先创设情境并提问：如下图，两只小狗和一头大象在同一直线上，两只小狗距离原点有多远？大象距离原点有多远？
生1：小狗距离原点都是3个单位，大象距离原点4个单位。
师：两只小狗和大象在数轴上表示的有理数分别是多少？
生2：两只小狗表示的有理数分别是-3和+3，大象表示的有理数是+4。
师：一般数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。比如，这里|-3|=3，|+3|=3。你能说出|4|是多少吗？
生（齐）：是4。
师：0的绝对值是多少？为什么？
生3：是0，因为0到0的距离是0。
师：说得真好！通过“绝对值”的定义，我们可以发现，任何一个有理数的绝对值都是正数或0，因为绝对值表示的是这个数到原点的距离，而距离是不可能为负数的。
笔者借助数轴，创设一个问题情境，让学生感知“距离是正数”，然后引导学生观察它们所表示的有理数中有正数也有负数。这种“由数到形、由形想数”的过程，使学生建立了数形之间的联系。
二、借助几何图形，证明公式定理
利用几何图形，可以证明数学中的很多公式、定理和法则。这样数形类比，能加深学生对公式、定理的理解。
笔者在教学《勾股定理》时，就尝试让学生用“赵爽弦图”来验证勾股定理的正确性。
师：下图中，大正方形的面积可以怎样表示？
生1：c2。
师：再仔细观察一下，还可以怎样表示？
生2：还可以用4个直角三角形的面积加1个小正方形的面积。
师：它们相等吗？为什么？
生3：相等，因为它们都表示大正方形的面积。
师：列出这个等式，看看你发现了什么？
学生在草稿纸上列出等式，展开、化简后发现“a2+b2=c2”，感觉非常神奇。接着，笔者介绍了另外几种图形，鼓励学生尝试用面积来证明勾股定理。利用图形来证明公式定理，有助于学生打通数形的“任督二脉”，实现了数形之间的有效转换。
三、实施动手操作，培养空间想象
初中数学教学中，教师可以有计划、有目的地组织学生利用相关工具（如白纸、剪刀、测量工具、实物、计算机等）进行折、剪、拼、测、画等操作活动，然后通过观察、分析、猜想、归纳等思维活动，获得数学知识的感性认识，达到直观体验的目的。
例如，在学习《立体图形与平面图形》时，笔者设计了如下操作活动。
（1）如下左图，把准备好的墨水瓶包装盒裁剪并展开，并在小组中进行交流。
（2）如下右图，观察展开图，看看它的展开图由哪些平面图形组成，再把展开的纸板复原为包装盒，体会立体图形与平面图形的关系。
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这样教学，学生在裁剪、展开和还原的操作活动过程中，发现一个长方体（或正方体）的平面展开图具有多樣性。小组讨论、总结发现一共有11种情况：1-4-1型的有6种（图1），1-3-2型的有3种（图2），3-3型和2-2-2型各1种（图3，图4）。
学生在操作活动的过程中，体会到了平面图形与立体图形之间的联系和区别，提升了几何直观和空间想象能力，为后面的数学学习奠定了基础。
四、培养画图习惯，促进数学理解
培养学生的几何直观应从画图习惯入手，鼓励学生用图形进行表达，使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的便利。
例如，教学《二次根式的加减》时，在不给出图形的基础上，教师出示了如下问题：现有一块长为7.5dm，宽为5dm的长方形木板，能否在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
师：你能画出这个长方形的草图吗？（学生在草稿纸上画图）请同学们看看老师画的草图，如下图，两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形的边长分别是多少？
生1：[8]和[18]。
师：它们能截出来吗？两个正方形的位置如何摆？
生2：应该横着摆，竖着摆不出来。
师：为什么摆不出来呢？说出你的理由。
生3：通过估算，两个数加起来大于5，超过了长方形的边长。
师：对！我们可以估算出来！那么它们的和到底等于多少呢？这就是我们今天要学习的“二次根式的加减”。
本节课教师通过问题导入，没有给出图形。学生自己动手画图，并结合图形进行分析，对无理数[8]和[18]进行化简、合并，培养了学生根据图形进行观察、推理的能力。
初中数学中很多题目是没有几何图形的，这就需要学生进行画图分析、推理解决问题，有时候还要进行分类讨论。教师在教学中要注重培养学生画图分析的能力，促进学生对数学问题的理解与掌握。
（作者单位：荆州市东方红中学）
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