具有分级免疫率的SIRA计算机病毒模型
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【摘要】在杀毒软件等防御措施下，健康机和感染机都在一定程度上获得了免疫力，但往往后者比前者强。基于这种认识，在SIRA模型基础上研究分层免疫效应，探索分层免疫效应对系统稳定性的影响。研究了分层免疫机制下SIRA模型无毒平衡点和有毒平衡点的稳定性，并对理论结果做了数值仿真。
【关键词】分级免疫率;SIRA;稳定性;数值仿真
【中图分类号】TP309.5
【文献标识码】B
互联网在为传播资讯提供便利的同时也给计算机病毒的传播提供了温床。计算机病毒自我复制能力强，破坏力大，是互联网的头号敌人。在互联网高速发展的今天，计算机病毒对网络信息安全的威胁不得不引起高度重视。
计算机病毒与传染病病毒在传播机理上有很大的相似性，从20世纪80年代末期开始人们便借鉴传染病模型研究计算机病毒，详见表1。
其中S，I，R，A分别代表易感染计算机，已感染计算机，临时免疫计算机，永久免疫计算机;β代表病毒发生率;a，a2分别表示S计算机和I计算机直接转为A计算机的概率（即免疫率）;δ代表临时免疫率;σ代表重复感染率;N代表外部计算机连入网络的速率;μ代表淘汰率。
在计算机安装杀毒软件后，计算机在一定程度上对病毒产生了“免疫力”。但健康机和感染机的免疫力是不一样的，通常后者免疫力高于前者。基于这种认识，杨茂斌在SLBRS模型基础上考虑了分级免疫机制。本文研究分级免疫率SIRA模型，探索平衡点的稳定性。
2 分级免疫SIRA模型
现实中R计算机也可以转化为A计算机，设转化概率a3，则模型（1）改进为如下的：
4 稳定性仿真
4.1 无毒平衡点的稳定性
取定以下参数a1= 0.025，a2=0.25，a3=0.15，β=0.1，σ=0.8，δ= 0.6.N=0.2，μ=0.2，此时计算得k1=0.125
图2显示系统中四种状态计算机随时间的变化规律。其中S计算机从初始状态逐渐增加到最大值并稳定下来，I计算机、R计算机和A计算机从初始值逐渐减小并趋于零。因此系统最终稳定在无毒平衡点（1，0，0，0），与定理l结论吻合。
4.2 有毒平衡点的稳定性
取定以下参数a1= 0.025，a2= 0.25，a3= 0.15，β=1，σ=0.8，δ=0.6，N=0.2，：0.2。此时K3= 0.25625<1，定理2的条件满足。求得有毒平衡点P2 （0.8，0.125，0.075，0）。取定初始值S（0）=0.2，I（0）=0.5，R（0）=0.2，A（0）=0.1。模拟结果如图3所示。
图3显示四种状态计算机的变化趋势。S计算机从初始值增加到一个最大值并趋于稳定。I计算机和R计算机则逐渐减少，但是不会灭绝。各状态计算机最终收敛到有毒平衡点（0.8，0.125，0.075，0），与定理2的结论吻合。这意味着在采取措施的情况下，即使网络中有病毒存在，系统仍然可以正常工作。
4.3 新旧模型对比分析
在方程组（1）和（2）中取定以下参数：σ=0.8，δ=0.5，N=0.2，μ=0.1，a1=0.025，a2=0.25，a3=0.15，取相同的初始状态：S（0）=0.3，I（0）=0.5，R（0）=0.1，A（0）=0.1。模拟结果如图4所示。
图4表明了在同一时间，其他条件相同的情况下，分层免疫SIRA模型对感染节点的反应更加明显，比原模型表现得更优秀。
5 结论
在SIRA模型的基础上，考虑到除了S和I，R也可以通过采取防护措施转化为A状态的计算机，且计算机的免疫率是有高低之分的，即a2>a3。本文将不同的免疫率结合起来考虑，正如我们所预期的那样，系统在分层免疫的情况下会更加稳定。
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[作者简介]李杏（1994-），女，硕士研究生，研究方向：农业信息化;赵向青（1974-），男，湖南炎陵人，教授，研究方向：微分动力系统;邹秉辰（1997-），女，江苏徐州人，硕士研究生，研究方向：农业信息化。
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