有关抽象函数的题型及解决方法

来源:用户上传      作者: 唐菊英

　　【摘 要】在江西省近几年的高考试卷中，经常会出现有关抽象函数的试题.由于这类问题本身的抽象性和隐蔽性，很多学生在解题时经常会感到束手无策.下面通过几个例题来探讨一下这类题目的求解策略
　　【关键词】抽象函数 赋值法 单调性 奇偶性 比较法 解析式
　　【正文】已知条件中没有给出的解析式或通过已知条件无法求出解析式的函数称为抽象函数。通过已知条件，给参变量取值又叫赋值的方法叫赋值法。例“”就是赋值法即等号为赋值号不是等号，用右边的值赋左边的量或说取代左边变量。其实赋值法又叫换元法。现在我来通过例题介绍用赋值法研究抽象函数性质问题。
　　类型一：用赋值法求抽象函数的某个函数值。
　　例1，
　　思路一：对已知f（x+y）=f（x）+f（y）中的参变量赋值先求抽象函数的奇偶性，再用赋值法求函数值。
　　解：∵ f（x+y）=f（x）+f（y）∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）又f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0f（x）为奇函数f（-2）=f（-2）=-4，又∵f（-2）=f（-1）+f（-1）
　　思路二：对已知f（x+y）=f（x）+f（y）中的参变量x，y反复赋值求函数值f（-1）
　　解：
　　类型二.用赋值法先讨论自变量互为相反数或互为倒数时函数值的关系再求抽象函数的单调性
　　例2.已知定义在上的函数满足对任意的x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且，求证：1、；2、
　　3、
　　解：1、
　　2、
　　3、方法一：因为，所以
　　∵
　　∴又∵
　　∴
　　∴，
　　类型三：抽象函数的单调性采用比较法（作差法或作商法）
　　例3：已知对任意
　　（1）：
　　解：（1） ∵f（x）f（y）=f（x+y） ∴f（0+1）=f（0）f（1），又因当x>0时f（x）>1成立即f（1）0
　　（2），现在讨论当的符号。在讨论的符号前先求的关系∵
　　∴∴∴当x<0时-x>0，则f（-x）>1
　　∴，综上可得：
　　（3）采用比较法即作商法讨论函数的单调性。
　　∵ ∴。
　　方法一： ∴
　　方法二：
　　训练题一
　　。
　　（1）求的值。（2）判断函数的奇偶性，并说明理由。
　　（3）讨论函数的单调性，并说明理由。
　　训练题二：定义域为R且满足以下条件：
　　（1）任意的都有恒成立。（2）.
　　试讨论函数在R上的单调性。
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