正弦函数、余弦函数的性质(单调性)

作者:未知

  摘 要:正余弦函数性质中的单调性、最值及其简单应用蕴涵着深刻的数学思想方法(化归思想、数形结合、方程思想),因此“正弦函数、余弦函数的性质”无论是在《三角函数》这一章中还是在高中数学中都有极为重要的位置,具有承上启下的重要作用。
  关键词:正弦函数
  一、教材分析
  本节课是高中人教A版必修4第一章第四节第二课时的内容。主要研究正余弦函数性质中的单调性其简单应用。
  本节课是前面所学知识的延续和深化,又是后面学习“正切函数图像和性质”的基础和前奏。学好了本节课的内容,既能加深对正余弦函数有关概念的理解,又能为后面学好正切函数的性质提供方法。
  二、学情分析
  高中一年级学生已学习了正余弦函数有关基础知识及一些简单性质,并且在前面已经研究了一些特殊函数的性质。已初步具有直观想象、逻辑推理的能力,能在教师的引导下独立地解决问题。本班有不少学生基础不差且思维较活跃,能带动其他学生积极学习,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
  三、教学目标
  新课标指出学生是教学的主体,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,基于以上对教材的认识,依据教学大纲的教学要求,渗透核心素养理念,并结合以上学情分析,我制定了以下教学目标:
  1.知识与技能:(1)掌握正余弦函数的单调性;(2)体会研究正余弦函数单调性的过程;(3)能利用正余弦函数的性质解决一些简单问题;
  2.过程与方法:(1)以正余弦曲线为研究工具,周期性、奇偶性和对称性为桥梁,得出正余弦函数的单调性;(2)通过性质的研究体会数形结合的数学思想。体验从特殊到一般的研究方法,学会总结、归纳、反思,进一步培养学生灵活运用性质的能力。
  3.核心素养:发展对数学的积极情感,认识自然界中万事万物的“相互联系及转化”,进一步发展“直观想像能力及逻辑推理能力”,从而培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析以及运算能力。
  四、教学重难点
  教学重点:正余弦函数的单调性及研究函数图像性质的思想方法。
  教学难点:归纳正余弦函数的单调区间的一般形式及单调性的简单应用。
  本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。
  五、教学方式
  波利亚认为,学习任何东西最好的途径是自己去发现,根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,本课采用“问题——活动——反思”的教学方式,突出自主探究、小组合作。使每个学生都有机会经历抽象数学概念的各个阶段,最终形成概念、获得方法、培养能力;突出设计与引导,在情境创设、认知策略上,教师应给予适当的点拨,并为学生参与交流搭建平台。
  六、教学过程
  1.复习回顾、确定任务
  前面我们学习了正余弦函数的图像,了解了正余弦函数的一些简单性质,请同学们回顾一下:(设置导学案,学生课前完成)
  设计意图:(1)复习巩固前面所学知识,同时为本节内容的学习作一些知识上的准备。(2)对于图像的画法要进一步加以强调,以周期性为依据,为后面寻找正余弦函数的单调性和最值做好充分的准备。
  2.问题牵引、探究发现[提出问题]请同学们观察正弦函数的图象,根据图象回答以下问题:
  探究1:正弦函数在上函数值的变化有什么特点?
  探究2:如何将这一特点推广到整个定义域呢?
  探究3:正弦函数的单调区间是什么?
  探究4:小组讨论,类比正弦函数单调性的研究方法探究出余弦函数的单调性。
  [設计意图]一、激发学生学习兴趣;二、引导学生思考正余弦函数的单调性;三、培养学生类比、小组合作和直观想象的能力。
  总结:
  1.正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
  2.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
  [设计意图]学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以得出正弦函数、余弦函数的单调性,从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主观察、推导,同时也复习了前面所学的一些简单性质。
  3.性质应用 讲练结合
  例1.不求值,比较下列各式的大小和和
  设计意图:使学生快速熟记正余弦函数的单调性,通过诱导公式把角度化为同一单调区间,利用正弦函数单调性比较大小,进一步巩固“化归”的思想。
  例2.求函数y=sin(2x+)的单调增区间.
  探究1:请同学们自己编设题目,探究复合函数求解单调性的一般模型;探究2:判断函数在(-,)上的单调性。
  结语
  设计意图:通过此题让学生体会求函数的单调增区间时,应把三角函数符号后面的角看成一个整体,采用换元的方法,化归到正、余弦函数的单调性,从而让学生学会用整体思想解题。对于复合函数单调性的处理,一定要先求其定义域。探究题1的设置更是层层递推,让学生在变形中体会数学的魅力,从而体现直观想象、逻辑推理、数据分析、数学运算的核心素养。
  例3.已知是正数,函数在区间上是增函数,求的取值范围。
  设计意图:逆用函数单调性,在探究过程中培养学生的方程思想与运算能力,从而进一步培养学生的逻辑推理和数学运算能力。
  4.归纳总结、分享收获
  设计意图:活跃课堂气氛,培养学总结和表达的能力。
  5.布置作业、延伸拓展
  设计意图:通过布置作书面业巩固所学知识及方法,同时通过布置课下思考题来延伸知识拓展思维。
  6.板书设计
  正弦函数、余弦函数的性质(单调性)
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