g-框架的一个特征刻画

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　　摘要：设是关于的g-框架，本文证明了关于g-框架的范数不等式，并给出了g-框架的一个特征刻画。
　　关键词：框架框架系数g-框架 g-框架算子
　　
　　1.引言
　　框架的概念是二十世纪五十年代产生的，框架理论在无线通信、图像处理、抽样理论等方面有着广泛的应用。随着框架理论的丰富，人们提出了各种形式的框架，特别的，孙文昌教授提出了广义框架(简称g-框架)，它包含了Hilbert空间上通常框架的各种推广，也受到了很多学者的关注，如文献[1-6]。本文主要是研究g-框架的性质特征刻画。在本文中，设 为Hilbert空间，表示到中的有界线性算子的全体。表示正整数集的子集。下面先给出框架、g-框架的基本概念及一些相关结论。
　　定义1.1 设是Hilbert空间 中的点列。如果存在正常数，使得对任意的，都有
　　则称 为 的一个框架,分别称为这个框架的下界和上界。
　　定义1.2算子, 称为框架 的框架算子。
　　框架算子是可逆正算子，且对任意的，有称为 关于框架 的框架系数。
　　定义1.3 设 为一算子列. 若存在正常数，使得，有
　　则称算子列为关于的g-框架, 分别称为这个g-框架的下界和上界. 如果只有右不等式成立,则称 为g-Bessel列.
　　在文献[4]中作者提出设 是Hilbert空间 的一个框架，则的框架系数 是表示 所有系数 中具有极小范数。本文中将该结论推广到了g-框架中(2中定理2.1)。
　　令。对任意的，定义则是Hilbert空间。通过引入 空间，文献[1]中作者给出了g-框架的一个特征刻画，如下
　　定理1.4 是关于的g-框架当且仅当如下定义的算子 在 上有定义,且是到上的有界线性算子。
　　定理中定义的算子 称为准g-框架算子。本文从考察 与g-框架的关系及 满足的条件入手，给出了g-框架的另一个特征刻画(定理2.2)。
　　2.主要结果和证明
　　为了证明主要结果,我们先给出几个引理和定义。
　　引理 2.1 是关于 界为 的g-Bessel列当且仅当准g-框架算子在上有定义且 。
　　引理 2.2 设为Hilbert空间。是到中的有界线性算子，则
　　(1) 是 中的闭子空间当且仅当是中的闭子空间；
　　(2)
　　定义2.3 算子, 称为框架的g-框架算子。(在不引起混淆的情况下,这里我们仍用 表示g-框架的g-框架算子。)
　　g-框架算子是可逆正算子，且对任意的有。类似框架的框架系数具有极小 范数的性质，下面给出g-框架的相关结果。
　　定理2.4设是关于的g-框架。为其框架算子.对任意的,若存在,使得,则证明如果，那么不等式自然成立。下面假设，由是g-框架，则有因此。于是且有成立。上面两式表明与垂直。所以因此结论成立。接下来，我们主要探讨g-框架的等价刻画。
　　定理2.5 是关于界为的g-框架当且仅当
　　(1) 对任意的,存在,使得 ；
　　(2)准g-框架算子 在上有定义, 且对任意的都有 。
　　证明必要性.由是g-框架,易知(1)成立.且据定理1.2及引理2.1知，准g-框架算子是到上的有界线性算子且。从而对任意的,有此外对任意的由的定义知，
　　 因此。因为，所以据引理2.2知,是闭集。从而又是g-框架算子，则于是 ，必要性得证。
　　充分性. 由(2) 知,算子 是有界线性算子且,则也是有界线性算子.从必要性的证明过程可知,对任意的于是则于是从而即下证是闭集。设且那么存在使得即得是柯西列.由的完备性可知, 存在使得因此是闭集。 所以这样由伪逆的定义知的伪逆满足, 对任意的到上的正投影, 从而对任意的由知注意到则于是因是有界线性满算子, 由定理知因此是框架。证毕。参考文献[2] 杨晓慧,李登峰. g-框架及其对偶框架的一些等式和不等式[J].数学学报,2009,（05）203-210.
　　[3] 李登峰,孙文昌. g-框架的一些等式和不等式[J].数学年刊,2008, 29A(4)513-518.
　　[4] 李登峰,薛明志. Bnach空间上的基和框架[M]. 北京：科学出版社,2006.
　　[5] 余白云，舒志彪. 对偶g-框架的刻画[J]. 科技资讯,2010,33, 210-211.
　　[6] 姚喜妍，董淑转. Hilbert空间H中G-框架等式[J]. 应用数学,2010,23(1),158-161.

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