可转换债券定价方法理论与实证探究
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作者: 陈 帅 李 喆
摘要:可转换债券是一种比较复杂的金融工具,如何准确对其进行定价的问题始终没有得到根本解决。当前中国学界普遍采用的方法是使用布莱克-斯科尔斯模型对可转债进行估值,在本文中,笔者以Cox,Ross,Rubinstein(CRR)提出的二项树模型为基础,经过新的修正后,将其用于我国可转债的定价估值,并根据当前转债市场的真实数据辅以实例验证。最后,对两种定价模型的估值效果进行了比较并提出了可能出现偏差的原因。
关键词:可转债定价;布莱克-斯科尔斯模型;二项树模型;估值效果分析
可转换债券是一种兼具债权凭证和股权凭证双重性质的金融工具。一方面,在转换期内,债券发行人必须按约定利率无条件还本付息;另一方面,在债券到期时,其持有人有权按照约定条件将债券转换为普通股,使债务资本转变为权益资本,其自身也由公司债权人转变为公司股东。
近年来,可转债由于其灵活性高、融资成本低、融资金额大,可以减缓股东权益稀释等优点,不论是对债券发行方还是对债券投资者来说,都具有较大的吸引力,因而在资本市场上被广泛使用。然而可转债由于内含转换结构的复杂性,其准确定价问题始终没有得到根本解决。Brennan, Schwartz和Ingersoll提出依据公司价值变化的随机过程对可转债进行定价,McConnel和Schwartz将信贷利差作为折现因子建立了新的可转债定价模型,Tsiveriotis将可转债的价值分解为权益部分和债权部分,Hung等则在可转债定价模型中加入了对违约风险的度量,从而进一步提高了可转债定价的准确性。总体而言,可转债定价模型的研究不论是从理论意义还是从实际应用的角度来说,都具有重要的意义。
一、可转债估值理论模型研究
可转换债券由于兼具债权性和期权性,因此其理论价值应该等于它作为普通公司纯债券的价值与它相应的看涨期权的价值之和,用公式表示为:
可转换债券理论价值=纯债券价值+转股比例×看涨期权价值
假设纯债券价值为S,转股价格为K,看涨期权价值为f,则可转债的价格V可以表示为:
下面本文将就这两方面进行进一步讨论。
(一)纯债券价值估值
普通公司纯债券价值是指可转换债券若不具有转换权利,其本身的债券性所具有的投资价值。纯债券价值等于可转换债券所有未来现金流(可转债面值和每年利息值)的折现值之和,公式表示为:
其中,NPV为可转换债券的纯债券价值,F为可转换债券面值,Ii为第i年可转换债券年利息值(面值×票面利率),T为可转债期限,t为可转债当期时间,r为折现率。
需要指出的是,纯债券价值与无风险利率有关,而与可转债标的股票的价格无关,它相当于一个普通可比债券的价值,反映了可转换债券的最低价值。在到期日时,如果出售或者转换债券的价值低于这个价值,则投资者将不会行使该出售或者转换权利,而是选择收回本金和每年利息。
(二)看涨期权价值估值
1.基于布莱克-斯科尔斯模型的可转债估值
布莱克-斯科尔斯模型(Black-Scholes Model)由诺贝尔经济学奖获得者Fischer Black和Myron Schole提出,适用于看涨欧式期权的估值,该模型根据“无套利原理”(Arbitrage-free Principle)提出,即如果某个期权的价格偏离了布莱克-斯科尔斯模型所计算的价值,则市场上无风险套利的机会就会出现,而无风险套利的过程将使得期权的价格重新回归至模型所计算的理论值。布莱克-斯科尔斯模型包括股票、债券、期权在内的以市价变动而定价的金融衍生工具的合理定价奠定了理论基础,公式表示为:
f=Ps・N(d1)-X・e-rt・N(d2)
其中f为看涨期权价值, Ps为股票的当前价格, X为期权的执行价格, t为期权到期时间,为股票连续复利下年收益率的标准差, N(di)是标准正态分布小于di的概率(i=1,2),r为无风险利率1。
布莱克-斯科尔斯模型的理论基础是Black-Scholes微分方程和风险中性定价原理:
Black-Scholes微分方程:
在风险中性时,欧式看涨期权与看跌期权到期日的期望值分别为:
E[max(PT-PE),0]
E[max(PE-PT),0]
其中,PT为到期日时期权商品市场价格,PE为期权商品执行价格。
和许多其他定价模型一样,布莱克-斯科尔斯模型是建立在一系列有关经济环境和股票价格的假设之上的,主要包括:
1)期权标的物的价格变动遵循一般化的维纳过程,即其价格服从对数正态分布;
2)股票可以卖空,且卖空者将得到交易中的全部利益;
3)期权标的物的价格波动率为已知的常数;
4)期权是欧式期权,即只有在到期日才能够执行;
5)存在一个固定的无风险利率;
6)不存在交易费用和税收等;
特别地,布莱克-斯科尔斯模型没有考虑到期权在到期日之前被执行的情况,因此该模型通常只适用于欧式期权的定价,若使用该模型对美式期权进行定价,则会出现较大的偏差。
2.基于二项树模型的可转债估值
二项树模型(Binomial Options Pricing Model)由Cox,Ross,Rubinstein最先提出,它既可以用于欧式期权的估值,又可以用于美式期权的估值。该模型将可转债期限分割为n个相等且间隔为t的时间段(每个时间间隔称为一个二项期),然后通过研究每个二项期后的股票价格,使用等效替代的方法来计算待估值期权的价格。事实上,由于该模型应用广泛、比较直观且易于理解,因此它已经成为当今金融界最广泛使用的金融衍生品定价模型之一,公式表示为:
其中f为看涨期权价值,Ps为股票的当前价格, X为期权的执行价格,t为一个单位二项期,n为观察期,u为一个单位时间股票价格上涨的比例,d为一个单位时间股票价格下跌的比例,p为股票价格上涨的概率,1-p为股票价格下跌的概率,r为无风险利率。
下面简要推导说明二项树模型的看涨期权公式:
首先考虑只有一期的二项树。由于Ps是股票的当前价格,u为一个单位时间股票价格上涨的比例,d为一个单位时间股票价格下跌的比例,因此在一个二项期t之后,股票的价格只有上涨或下跌两种情况,并且,若股价上涨,则在该时间点股价为u Ps;若股价下跌,则在该时间点股价为d Ps。
这里,我们估值的原理是:构造一个投资组合,使得该投资组合的回收在股价上涨或下跌的情况下,与待定价期权的回收都完全相同,则此时必有该投资组合的价值与期权的价值也相同。
构造的投资组合是:买进△股相同公司的股票2,并且以无风险利率借入B元债券。
设δ为连续股利收益率,r为无风险收益率,上涨情况下期权价值为Vu,下跌情况下期权价值为Vd。
若第一期后股票的价格上涨为u・Ps,根据期权价值=构造的投资组合价值,有:
Vu=u・Ps・△・eδt+B・ert(1)
若第一期后股票的价格下跌为d・Ps,同理根据期权价值=构造的投资组合价值,有:
Vd=d・Ps・△・eδt+B・ert(2)
联立以上(1)(2)两式,解出△和B,可得:
由于在当期时刻(T0),此投资组合的价值为购买股票和债券所需的现金流,也就是我们最终要估值的期权的价值,设这个值为f,则有:
f=e-rt[p・Vu+(1-p)Vd](4)
上式即为一期情况下期权估值的表达式,其中 ,
Vu=max(u・Ps-X,0),Vd=max(d・Ps-X,0)
同理,在两个二项期2t之后,股票涨跌后的价格只有三种情况,分别是u2・Ps,u・d・Ps,d2・Ps。以此类推可知,在n个二项期nt之后,股票的价格有n+1种情况,可以统一表示为:
Psn=ukdn-kPs,k=1,2,…,n
此时期权的内在价值即为股票价格和行权价格中的较高者,即max(ukdn-kPs-X,0)。
对于这种n个二项期的期权价值计算,我们选择采取“倒推法”,即沿着二项树倒向逐级推出前一期期权价值的方法。具体原理是:由于我们可以借助构造的投资组合的价值计算出第n期的每个结点上的期权价值(共n+1个),将其逐项带入公式(4)中,便可以计算出第n-1期的每个结点上的期权价值(共n个),再次带入公式(4),即可以计算出第n-2期的每个节点上期权价值(共n-1个)……以此类推,进行迭代计算,最终必定可以计算出在第0期(即现在时点)的期权价值,该值即为所求的目标期权的当前价值。在实际计算中,该过程可以通过计算机编程实现。
二、可转债估值应用实例
本文中选择浙江龙胜(600352)在2009年发行的规模为125000万元、面值为100元的龙盛转债(110006)作为以上有关估值模型讨论的应用实例。可转债的基本数据如下:
根据以上数据,可以得到用于计算的对应变量值: 3
F=100,X=8.9,T-t=4.5,I1=1.0,I2=1.2,I3=1.4,I4=1.6,I5=1.8
对股票价格波动率σ的估计:
浙江龙胜可转债的发行日期为2009年09月14日,为消除可转债发行对股价的影响,这里我们选择债券发行前从2008年09月01日至2009年08月31日一年的股票价格来计算波动率。
设ui (i=1,2,…,n)为股票第i日的连续复利收益率,为ui的标准差,则 即为股票价格日波动率,公式表示为:
计算出股票价格日波动率 以后,就可以计算出股票价格年波动率σ,计算公式为:
股票价格年波动率σ=股票价格日波动率
代入相关数据,最终计算结果为浙江龙盛股票价格年波动率 σ=0.2268。
对贴现率i的估计:
贴现率应等于企业发行纯债券所要求的回报率,由于当前中国企业发行债券都有相应的评级和担保,因此在不考虑额外的信用风险的情况下,可以认为交易所相应期限的企业债券收益率即为可转换债券定价的贴现利率。这里,我们选择同期债券比较收益率3.85%作为贴现率i的估计。
对无风险利率r的估计:
国际上对于无风险利率的估计,一般采用短期国债收益率来替代计算。这里,我们也同样遵循这一原则并考虑了信用风险溢酬之后,采用2009发行的一年期凭证式国债票面利率2.60%来作为无风险利率r的估计值。
(一)纯债券价值
如上所述,可转债的纯债券价值等于可转换债券所有未来现金流(可转债面值和每年利息值)的折现值之和,公式表示为:
针对本例,由以上数据选择,具体计算过程如下:
因此可以得到可转债的纯债券价值为90.64767元。
(二)看涨期权价值
1.基于布莱克-斯科尔斯模型的可转债估值
浙江龙盛2010年4月13日股票收盘价Ps为13.69元,相关数据如下:
Ps=13.69,X=8.9,r=2.6%,σ=0.2268,t=4.5
通过NORMSDIST函数,可以计算得到:
N(d1)=0.916008, N(d2)=0.815291
每份看涨期权的价值为:
f=13.69×0.916008-8.9×e-0.026×4.5×0.815291=6.08524
转股比例为11.2,因此11.2份看涨期权的价值为:
6.08524×11.2=68.154688元
基于布莱克-斯科尔斯模型计算,最终可以得到2010年4月13日龙盛转债的理论价值:
可转换债券理论价值=90.64767+68.154688=158.80元(保留至百分)
2.基于二项树模型的可转债估值
对于二项树模型来说,这里为了简单直观地表示出二项取值的过程,取变量值n=5。其他数值保持不变,分别为:
Ps=13.69,X=8.9,r=2.6%,σ=0.2268,n=5,t=0.9
对于一个单位时间股票价格上涨的比例u,一个单位时间股票价格下跌的比例d的取值,将根据该公司股票年化波动率在连续复利条件下进行计算,即:
u=e,d=e-
代入上文中数据,可得u=1.24006,d=0.80641。
对于一个单位时间后股票上涨的概率p,计算表达式为:
代入数据,可得P=0.50101。
单位时间间隔(一个二项期)方面,取n=5,t=0.9代入(*)式,有:
每份看涨期权价值f=6.12688:
11.2份看涨期权的价值: 6.12688×11.2=68.62106
此,我们最终可以得到2010年4月13日龙盛转债在二项树模型下的理论价值为:
可转换债券理论价值=90.64767+68.62106=159.27(保留至百分位)
在以上计算中,笔者为了简要直观地说明使用二项树模型对可转债估值的过程,选取了变量值n=5。在实际计算中,迭代的次数越多,估值效果将会越准确。因此,为了准确定价,实际计算时通常会选取n=100以上的迭代次数,这种方法可以保证计算结果更加接近可转换债券的真实价值4。
分别使用布莱克-斯科尔斯模型(BSM)和二项树模型(BOPM)在n=5和n=100的情况下,根据浙江龙胜的股票价格5,计算出龙盛转债从2010年4月1日至2010年4月15日期间的理论价值,结果汇总如下
三、估值结果分析
根据估值结果对比表,可以直观地观察到两种理论模型基本对可转换债券的价值进行了比较准确的估计。进一步计算可知,使用布莱克-斯科尔斯模型估值的偏差范围为-0.76%至4.80%,使用二项树模型在n=5的情况下估值的偏差范围为-0.53%至5.11%,在n=100的情况下估值的偏差范围为-0.75%至4.79%,这个结果可以说明以下结论:
1)本文以上理论研究中,对可转债定价模型的假设和相关变量的选取比较准确合理。
2)使用二项树模型估值时,在迭代次数n增大时,可转债估值的准确性有较大提高。
3)当n取值结果较大时,使用二项树模型估值的结果和使用布莱克-斯科尔斯模型估值的结果将十分接近。
4)市场上龙盛转债的实际价值可能被低估6。
正如上文所述,任何金融产品及其衍生品的定价模型均是建立在一系列理想情况的假设基础之上的,而这些假设存在本身就会在一定程度上限制定价模型的准确性。在真实市场中,金融产品的实际价格还将受到很多其他因素的影响,可能会造成价值偏差的原因包括:
1)股票市场不完善。相关研究表明,我国的股票市场处于无效和弱有效性之间。公司与投资者之间的信息不对称现象较为严重,在2010年股指期货起始交易之前,市场上始终没有做空机制,只能通过推高大盘指数和股票价格来通过价差获取盈利,因此容易出现虚高和泡沫的现象。
2)债券市场弱流动性。目前中国债券尤其是可转债市场还属于新兴发展阶段,市场不够成熟,流动性相对较弱,交易量相对较小,债券市场价格不能完全反映真实价值。
3)投资者不成熟。由于可转债这种新型金融工具在我国发展的时间相对较短,市场规模较小,因此很多投资者对可转债的认识严重不足,未对其内在价值进行充分挖掘。
4)赎回和回售条款7。在债券发行时,发行公司和交易者之间签订的协议中可能会包含赎回和回售条款,即在一定的触发条件成立时,公司有权利(或义务)以某一提前设定的价格赎回(或回售)之前所发行的可转换债券,这种条款的存在将会限制一般理论定价模型的准确性。
实际上,布莱克-斯科尔斯和二项树这两种期权定价模型都是建立在动态复制原理和无套利均衡原理之上。根据中心极限定理,当n趋向无穷大时,二项式分布将逼近正态分布,此时二项树模型的定价结果也将逼近布莱克-斯科尔斯模型的定价结果8。
布莱克-斯科尔斯模型的建立进行了大量的假设,成立的条件相对苛刻,而且一般情况下只适用于欧式期权,因此其应用性受到一定的局限;二项树模型的假设条件较少,使用范围更广泛,既可以用于欧式期权定价,也可以用于美式期权定价,但是其计算过程却相对复杂。
投资者在对可转换债券进行估值时,除了使用相关定价模型来计算其理论价值外,还应关注包括宏观经济环境、企业所在行业和具体发行公司情况在内的其他因素,来整体考虑可转债的综合情况,力图可以更加准确地把握其真实价值。
参考文献:
[1]Cox, J. C., Ross, S. A., Rubinstein, M. “Option Pricing: A Simplified Approach” [J]. Journal of Financial Economics,1979.
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[6]ACCA. Advanced Financial Management[M]. Kaplan Publishing, 2009.
[7]王忠郴,赵迎东.金融市场计算技术[M].上海:立信会计出版社,2006.
[8]朱世武.金融计算与建模[M].北京:清华大学出版社,2007.
[9]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].高等教育出版社,2009.
[10]吴恒煜,赵平,期权定价公式的二叉树推导与分析[J].中国证券期货,2009(02):34-37.
(作者单位:英国牛津布鲁克斯大学商学院 首都经济贸易大学金融学院)
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