基于GARCH族模型对H股指数期货的VaR与CVaR值的实证研究

来源:用户上传      作者: 花小伟 马春阳

　　摘要:本文以港交所H股指数期货的收盘价格数据作为实证载体,基于GARCH族模型中残差的正态分布、T分布和广义误差分布(GED)三种不同情形,分别采用GARCH、EGARCH及PARCH模型,计算H股指数期货收益波动序列的VaR和CVaR值,结果表明基于广义误差分布的PARCH模型(GED-PARCH)无论在计算VaR值还是CVaR值方面都是最优的。
　　关键词:VaR值;CVaR值;GARCH族模型
　　
　　Abstract:The stock index futures of H share is selected as the object for empirical research. By the model of GARCH group with three kinds of distributions, the important result is that the model of PARCH under generalized error distribution is the best method to estimate VaR and CVaR of stock index futures of H.
　　Key Words:value at risk,conditional value at risk,the model of GARCH group
　　中图分类号:F830.91文献标识码:A文章编号:1674-2265(2010)06-0069-04
　　
　　一、VaR值度量方法的特点及其改进
　　股指期货作为一种重要金融衍生工具,其首要功能在于规避风险,有利于金融市场的发展;然而,股指期货又是把双刃剑,如运用不当可能成为重要的风险之源。2010年4月16日,我国沪深300股指期货正式挂牌交易。因此对股指期货风险度量方法的研究也就显得尤为重要。
　　度量金融资产风险的方法有许多种,但目前最常用的是依据VaR值的测量方法。相对于传统的均值方差分析方法和灵敏度分析方法,基于VaR值的测量方法的优点主要在于:首先,VaR值是在一定置信水平下经过某段持有期的资产价值损失的单边临界值,在实际应用时它体现为临界点的金额数目,简洁明了;其次,VaR值适用于综合衡量包括利率风险、汇率风险、股票风险以及商品价格风险和衍生金融工具风险在内的各种市场风险,从而统一了风险计量标准,管理者和投资者较容易理解掌握;最后,VaR值也可为确定必要的风险管理资本提供监管依据。
　　然而,1999年学者Arzner et al. 提出了相容风险度量,同时,Delbaen亦指出了VaR是不相容的;而Palmquist与Basak等人已成功构造出投资组合的模型并通过实证分析,证明了CVaR相对VaR可得到更为合理的结果,VaR则存在误导投资者错误选择高风险的可能,对比VaR,CVaR更能够捕捉极端市场条件下市场因子剧烈波动所产生的风险。因此Acerbi(2001)和Stefan(2001)提出用CVaR代替VaR作为金融风险的管理工具,CVaR的相容性使其成为更加完善的风险管理工具。
　　二、VaR值和CVaR计算的基本原理
　　全球风险管理协会(GARP)对风险值VaR的定义主要是一定时期金融资产的最大损失,它使得实际损失超出这个值的概率小于一个我们预先设定的值。首先是在既定损益的概率分布下用一个数字来概括整个分布,并把该分位数表示为损益水平(记为x)在某个置信水平下不会超过这个数值。如置信水平c=95%,这与右尾概率相对应,同样也可用左尾概率 p=1-c来表示风险值。VaR度量的是损失值,其取值为正,若分布是离散的话,则VaR就是使得右尾概率至少是c的最小损失值。
　　VaR值测量虽然简单方便,但简捷的代价却是其背后存在着隐患,毕竟VaR本质上仅是个分位数,而同样的VaR值背后却可能隐藏着不同的分布图形。故人们采用条件VaR测量方法(Conditional var,CVar),即当损失超出VaR值时的期望值是多少,测量在高出VaR值这个条件下,损失的平均值,其公式可表示为:
　　CVaR对损益分布的尾部损失度量是相对充分和完整的,尤其风险因子在非对称分布情况下,CVaR比VaR能够更全面有效地刻画损失分布的特征。如给定置信水平c=95%,CVaR就是那5%的最大损失的平均值,故CVaR不会小于VaR。在投资组合优化时,降低CVaR的同时,也降低了VaR,反之则不然。
　　三、VaR和CVaR的检验
　　通过统计模型计算出VaR(CVaR)值之后,即需对结果进行相应的检验,即所谓的后验测试,具体是比较一定置信水平下期望概率P与实际损失超过VaR值的比例(失败率),借此评估VaR模型的优劣。假设风险测量期间总计是M天,测量失败是N天,失败天数与总计天数的比值为 (即 ),失败比例服从伯努利分布,即 。设原假设
　　 ;备选假设。此处采用Kupiec提出的似然比率检验法对原假设进行检验,统计量为:
　　式(3)在原假设下, 统计量LR服从自由度为1的
　　分布,经查表知。
　　至于CVaR的检验,主要是测量超过VaR值的损失值与CVaR值之差的大小,可采用绝对额指标或相对数指标,本文采用的是绝对额指标,故定义DLC检验指标:
　　表示损失的平均数与CVaR平均数之差的绝对值,其中是大于VaR值的实际损失(在实际的计算过程中,需要对亏损额取绝对值), 即上面的失败天数,且DLC值的大小与CVaR模型优劣成反比,该值愈小,模型愈佳。
　　四、VaR和CVaR值的计算方法
　　在计算VaR值时,通常有两种方法,在已知分布时采用参数估计方法来确定VaR值;未知时则用非参数方法。参数方法主要包括单一资产不同分布法,投资组合多元正态法(即协方差矩阵法)和极值理论方法;非参数方法,主要包括历史模拟法和蒙特卡罗模拟法等。而大量实证研究表明,金融资产的收益存在着尖峰厚尾特征、波动集聚性、非对称性,在对计算VaR值的各种方法优缺点进行比较的基础上,同时考虑对H股股指期货收益波动的研究仅仅是对单资产的风险测量问题,故选择参数方法中的单资产不同分布方法计算VaR值。又因在对资产收益波动性的计算中,加权移动平均法中对权重的赋予过于简单,而指数加权移动平均法又往往受衰退因子的影响,二者都难以很好地反映资产收益率的尖峰厚尾和集聚性特征,故本文采用GARCH族模型研究收益率的波动情况。
　　(一)GARCH族模型
　　1. GARCH(p,q)模型。若一个随机变量有恒定的方差,则称之为同方差,反之则为异方差。而金融资产、利率、汇率等波动序列,往往没有恒定的均值和方差。资产持有者感兴趣的是持有期间内的收益波动,故对风险的前瞻性说明,能够估计和预测持有某一特定资产风险显得非常必要。而条件异方差可以估计为一个自回归过程,即ARCH模型(Engle,1982年)。其他学者在其基础上又提出了广义自回归条件异方差模型(GARCH模型),即引入了一种允许条件方差转化为一个ARMA过程的方法。在 模型中具体包括:

　　均值方程:
　　条件方差方程:
　　公式(5)、(6)、(7)中,为收益率,为残差,为条件标准差,为常数项, 与 为各期参数, 是GARCH项的最大滞后阶数, 是ARCH项的最大滞后阶数。在中,为保证其宽平稳性, 。
　　2. EGARCH模型。资产价格的一个重要特征是利空信息对波动性的冲击远大于利好信息的影响,而就许多股票而言,当前收益和未来波动之间存在很强的负相关,这一趋势通常被称为“杠杆效应”(Leverage Effect)。为了反映信息影响的不对称现象,Nelson(1991)提出不需要非负限制的指数GARCH模型(即Exponential GARCH),EGARCH模型的表达式为:
　　3. PARCH模型。Taylor(1986)和Schwert(1989)介绍了一种标准离差的GARCH模型,即将残差的绝对值引入模型而非残差。后来这一系列模型被Ding et al.(1993)总结为PARCH模型,公式为:
　　式中;为非对称效应参数,当
　　时, 远小于1;当 时, ,远小于 。
　　(二)基于GARCH族模型中残差不同分布下VaR和CVaR值的计算
　　1. GARCH族模型下收益残差的三种分布假设。GARCH模型中的残差分布常假定正态分布,但正态分布不足以反映股市收益率序列的厚尾特征。例如某一特定股票的收益率较正态分布给出的概率有更大的可能性遭受重大损失(或重大获利),即产生了所谓的“非正态误差”。故尝试T分布和广义误差分布(GED)来反映厚尾分布。正态分布密度函数较常见,为自由度参数,趋于 时,分布收敛于正态分布。
　　衡量GED分布的尾部厚度指标为 。当
　　时,GED分布表现为厚尾,当时GED为正态分布,当 则表现为瘦尾。GED分布的优点在于,在密度函数中加入尾部厚度指标,利于对厚尾特征不同的金融数据进行细化研究;当其与含有非对称效应参数 的PARCH模型组合时,将更好刻画金融资产波动的特征。
　　2. 在收益残差不同分布下VaR和CVaR值的计算。在参数方法中,计算VaR值公式为:
　　式中为资产的前一期价值; 为当期条件方差的标准差,本文根据GARCH族模型计算而得;
　　表示对应于某一置信水平的分位数,并且都是取单尾,在不同的分布下, 有不同的取值; 为资产持有当期。
　　CVaR是条件期望值,可在正态分布、T分布、GED分布三种情景下,分别计算CVaR值。
　　五、VaR与CVaR模型对H股指数期货风险度量的实证研究
　　(一)数据的描述及正态性检验
　　本文选取2004年1月26日至2009年1月23日H股指数期货交易数据,源自文华财经交易软件,交易代码7220,样本总量1230个,采用Eviews5.0和 Mathemaitca5分析软件。H股指数期货日收益率定义为:,其中为H股指数期货当日交易的收盘价格。
　　如做出H股指数期货日收益率的线性图,可以看出股指期货收益率的波动较平稳。但收益率异常值出现的频率比较高,并会集中在一个特定的时期,这显示出一种波动的聚类现象。进一步对H股指数期货日收益率正态检验,其偏度值为-0.100900(负偏),峰度为7.557013(表现出尖峰厚尾特征),且其JB统计量为1065.496( ),该序列不呈正态分布。
　　(二)平稳性检验
　　H股指数期货收益率序列的ADF值为-36.17160,小于1%显著性水平下的Mackinnon临界值-3.435462,故拒绝单位根假设,即H股指数期货收益率序列是平稳的。同时通过对收益率的自相关检验,发现收益率与其滞后7阶的自相关性比较明显(显著水平),并在尝试其他滞后阶数的基础上,认为收益率 的均值方程采用
　　(为残差)比较合适。
　　(三)对残差的自相关及ARCH-LM 检验
　　进一步对均值方程拟和后的残差和残差的平方进行自相关检验,结果表明H股指数期货收益率残差
　　不存在显著的自相关,而残差平方却存在显著的自相关。而且 的波动呈现出的特点为在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波动,在较小幅度波动之后紧接着较小幅度的波动,即具有明显的时间可变性和集簇性,适宜用GARCH族模型建模。故继续对残差项进行ARCH-LM 检验,结果表明无论是F统计量还是LM统计量在 5%的显著水平处,都拒绝无异方差的原假设,即残差中ARCH效应是很显著的,因此需要使用GARCH族模型建模。
　　(四)GARCH族模型中参数的估计及VaR与CVaR值的计算
　　1. 正态分布下计算VaR和CVaR的值。表1是基于残差的正态分布,GARCH、EGARCH及PARCH模型中不同参数的估计值,且在95%的置信水平下显著;对各模型估计后的残差做异方差效应检验,检验结果显示各模型均不存在显著的异方差现象,即表明模型能较好地反映股市对数收益率序列的异方差现象。
　　表2是在正态假定及95%置信水平下,基于公式计算的各个历史交易日的VaR值和CVaR值。表中失败天数是实际损失超过所估计的VaR值所返回的结果,失败率是失败天数与样本期(1222天)的比例。需注意的是在对VaR值进行返回检验时,所谓的实际损失指的是损益的绝对值序列
　　, 为H股股指期货日收盘价,这是计算返回检验效果的关键。从三个模型计算出的VaR值的变异系数及返回失败率来看:
　　EGARCH模型的失败率最小,主要是因为EGARCH模型对VaR估计偏高,存在风险的高估;PARCH模型估计效果居中,GARCH估计的失败率最大,但三者相差并不明显,失败率都接近5%,小于3.841,按照Kupeic提出的LR统计量检验,95%显著水平下不能拒绝零假设,故各模型计算的VaR值结果比较准确,但综合变异系数评价指标来看,正态分布下PARCH模型效果最优,EGARCH模型最差,GARCH模型效果居中。
　　在CVaR的计算结果方面,CVaR的均值与标准差等均大于VaR,失败率都小于相应模型下VaR的计算结果,其原因在于CVaR即定义为损失大于某给定的VaR值条件下的期望损失,而据CVaR的计算公式,95%置信水平下的条件分位数2.062216,大于
　　。同时DLC统计量结果表明,在VaR估计失效的交易时日里,实际损失的均值与CVaR均值比较接近,说明当VaR估计失败时,CVaR对损失的估计是比较准确的。
　　经比较知:
　　说明在正态分布下,基于EGARCH模型的CVaR模型能够较准确地度量左尾风险,DLC统计量数值较小,但与VaR估计方法相似,该模型计算的CVaR值变异系数比较大,易高估风险,导致管控成本的上升。

　　2. T分布下计算VaR和CVaR值。根据Eviews5.0软件中给出的T分布下的自由度参数 值(即T-DIST. DOF),即可求出T分布下分位数和条件分位数的值。
　　同理,求出T分布模型下的VaR估计结果,但因三种模型估计的LR统计量的值都大于3.841,在95%显著水平下拒绝零假设,各模型计算的VaR值效果较差,但从劣中择优角度来看,T分布下PARCH模型效果最优,EGARCH模型最差,GARCH模型效果居中。具体比较结果为:
　　不同模型下,CVaR值的测量的结果比较:
　　3. GED分布下计算VaR和CVaR的值。表5是GED分布下各模型的估计结果,Eviews5.0给出的GED分布下的尾部厚度指标的值正落在(0,2)的区间内,符合收益序列的厚尾特征,即可求出广义误差分布下相应的分位数和参数 值。
　　三种模型估计的LR统计量的值在95%显著水平下均通过返回检验,但综合比较GED分布下PARCH模型效果最稳健,且失败率较低,EGARCH模型计算出的VaR值波动过大,使其效果最差,GARCH模型效果则居中。
　　CVaR值测量结果表明,
　　即基于GED分布的PARCH模型计算出来的CVaR值的DLC返回检验值非常小,为1.180378,而且也明显小于正态分布与T分布下计算出的结果,这表明在GED分布下,PARCH模型计算的CVaR期望值与实际损失的期望值非常接近,可见GED分布下的PARCH模型估计效果最佳。
　　六、结论
　　本文通过采用GARCH族模型分别在三种不同的概率分布下计算H股指数期货收益率各日的VaR值,并进一步利用GARCH族模型分别在正态分布、T分布、GED分布计算CVaR值,发现基于广义误差分布的PARCH模型无论在计算VaR还是CVaR值方面都是最优的重要结论。这点在测量未来我国沪深300股指期货收益波动风险方面有着非常重要的借鉴意义。
　　
　　参考文献:
　　[1]Artzner,Ph.,F.Dealben,J.-M. Eber,and D.Heath, Coherent Measure of Risk,Mathematical Finance,1999,4,2
　　03-228.
　　[2]宋博.基于GARCH模型的VaR计算[D]. 南京:南京理工大学.2004,60-61.
　　[3]张广毅,杭敬,路正南.基于VaR技术的香港恒生指数期货分析[J].财经论坛,2004,(5).
　　(特约编辑 齐稚平)

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