高数在经济领域中的应用研究
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作者: 张锐梅
一、函数在经济分析中的应用
在经济活动中生产者与消费者通过市场交换商品，消费者购买商品是为了得到它的效用，生产者提供商品为了获取利润，而市场就是生产者和消费者之间的桥梁我们知道某种商品的市场需求量是商品价格的函数，一般说来将随着价格的上涨而减少，即需求量是市场价格的单调减少函数，与需求函数相反，供给函数是随着市场价格的上涨而增加。收人是生产者生产的商品售出后的收人，生产者销售某种商品的总收人取决于该商品的销售和价格，成本函数固定成本厂房设备管理者的固定工资等和变动成本原材料劳动者的工资等，利润是生产者扣除成本的剩余部分它也是产量的函数。
例:已知生产某种商品q件时的总成本(单位：万元)为
C（q）=10+5q+0.2q
如果每售出一件该商品的收入为9万元
(1)求生产10件该商品时的总利润。
(2)求生产20件该商品时的总利润。
解由题意可知，该商品的收入函数是R (q) =9q(万元)
又已知C(q)=10+5q+0.2q(万元)
利润的函数为L（q）=R(q)一c(q)=4q一10一0 .2q(万元)
(1)生产10件该商品时的利润为
L(10)=4x10一10一0.2x102=10(万件)
(2)生产20件该商品的总利润为
L(20)=4x20一10一0.2x202=-10(万元)
从上面这个例子，我们可以分析这样现象，即利润并不是总是随着产量的增加而增加有时会产量增加，利润反而减少，甚至会产生亏损。由理论分析得知利润函数分三种情况：
L(q)=R(q)一c(q)>0此时生产者盈利。
L(q)=R(q)一C(q)<0生产者亏损。
L(q)=R(q}- C(q)=0此时生产者即不盈利也不亏损即收支平衡。
盈亏分析常用于企业经营管理中各种价格或生产的决策。
二、收入最大化与利润最大化的优化分析
总收入R是产量x与单价P的乘积，即R= X*P，若价格不变，最大的产量导致最大收入，但收入最大时的产量不一定就能产生最大的利润。下面，我们通过运用高数知识的优化分析，使你能清楚地理解这一点。
例1设某商品可以保证至少销售10000件，每件售价为50元，如果销售量增加，可按每增加2000件，相应地每件降低2元的比例适当降低价格，已知生产此种商品的固定成本是60000元，可变成本为每件20元，假设这种商品以销定产(即产量与销售量相等)，分析产量为多少时，才能获得最好的经济效益?
三、建立数学模型是经济学向数学化、精密化迈进的桥梁，培养建模能力，是培养数学素质的重要内容
例如，风险资产优化组合问题。在市场经济条件下，每位投资者都面临着多种风险资产的投资决策问题。一般说来，每种金融资产，既有收益，又有风险，而且收益大的其风险也大。如果你把全部资金投向一种金融资产，那么你将承担极大的风险。“不要把鸡蛋装在一个篮子里”，聪明的投资者会将他的资金投到多种金融资产上去，这叫做分散投资风险。如何优化投资者的资产结构，才可使总体收益最大呢?这里有一个难题，就是现实中不同的资产往往是互相影响的。因此，孤立地看，本来是很好的几种金融资产，其组合却并不一定是优良的投资决策，反而有可能成为很糟糕的资产结构怎样解决这个问题呢?我们可以通过建立数学模型来实现(计算方法略)。
自然科学也常常需要数学模型。然而建立数学模型对于社会科学来讲尤其具有特殊重要意义自然科学是实证科学，研究自然现象可以采用变换因索多次重复实验的方法，从中发现量与量的依赖关系。然而，对于社会现象来讲，“实验”这个研究社会现象的王牌武器却完全无能为力。因为社会现象是一次性的动态现象，不可能重现，没有让你实验的机会，所以不可能建造社会现象实物模型供研究者使用而数学模型恰恰可以弥补这方面的不足。人们可以根据现实的资料。多次地在计算机上检验这个模型，修改这个模型，使之日臻完善，从而找出社会现象诸因素之间的数量依存关系，完成人类认识社会现象的理性飞跃。通过数学模型研究，省时、省钱、省力而且安全，所以说数学模型是社会经济分析的“实验室”。
为适应人们对社会现象定量认识的紧迫需要，数学模型便堂而皇之地登上了社会科学的殿堂。西方经济学中的“经济增长模型”、“汉森一窿缪尔森模型”、“商品―货币领域的般均衡模型”等等便是证明。我国已连续数年成功地举办了高等院校学生的建模比赛，这说明建立数学模型能力的培养已突出地受到了人们的重视。
四、微积分在经济分析中的应用
在经济学里习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济量对于另一个经济量的变化，如边际成本其经济含义当产量为再生产一个单位产品所增加的总成本C(q+1)-C(q)=△C(q)=C(q)
边际利润总利润的平均变化率设销售某种产品利润函数为等于总收入减去总成本即那么由导数的运算法则可知所以，边际利润等于边际收人减去边际成本。
例:已知生产某种彩色电视机的总成本函数为
C(q)=2.2x103q+8x107
通过市场调查可以预计这种彩电的年需求量q=3.1x105一50p，试求使利润最大的销售量和销售价格。
解由需求量q=3.1x105一50p，解得
p=6.2x103-0.02q，那么当销售量为最大时，总收入函数为，R(q)=P(q)=6.2x103q-0.02q3利润函数为L(q)=R(q)-C(q)= 4x103q-0.02q3-8x107
L’(q)=4x103q -0.04q
令L’(q)=4x103q -0.04q=0，得惟一驻点q=105由实际问题可知，q=105是利润函数的极大值点，也是它的最大值点，最大利润为:L(105)= 4x103x105-0.02x108-8x107= 1.2x108
当q=105，彩电的销售价格为p=6.2x103-0.02x105=4200(元)
边际需求为q(P)= -50，需求弹性为:
使利润最大的彩电售价为P=4200(元)，那么需求弹性为
即当彩电售价为需求弹性为富有弹性，此时适当降价不仅能够增加销售量，扩大本企业的彩电在销售市场上的占有份额，同时也能减少产品的库存积压，降低库存成本，增加销售总收入，给企业带来经济效益。
五、要培养人们的数学模拟能力，还必须通过数学培养人们的量化测度能力，从而使人们在经济工作中，科学地合理地制定目标，提高经营管理水平
例如奔小康问题。有资料记载，某地制定农村达小康标准为人均年收人2000元。据查，某村400人，一专业户(4口人)年收人60万元，另一专业户(4口人)年收人20万元，村中70%的人年收人在300元左右，其余的人年收人500元左右。据此，该村的年总收人构成为：
60万元，20万元各一户.两户共8人；
收人300元者共400 x70% = 280人；
收人500元者400一280一8=112人
所以，该村人均年收人为
-
x=60+20+0. 03 x 280+0.05 x 112/400
= 0.235(万元)
按当地规定的标准，该村已步人小康，该村村长、支书可列人率领群众奔小康的模范人物，可以请功领赏了。但事实上，该村大多数人还处于贫困水平(70%的人年收人在300元左右)、荣誉与事实反差极大的原因在于“小康”的标准定得不科学，不合理，即“小康”未能正确地量化测度。应该还有“共同富裕”这一条。如何度量“共同富裕”这一标准呢?概率论中告诉我们，可以使用人均年收人的标准差a和标准系数Ve。经计算可有
该村的人均年收人标准系差数竟然超过100%，达到六倍多，实在没法交待!这说明一个现代化的管理者必须学会止确制定奋斗目标和评价指标。为此,管理者必须具备一定的数学知识，否则会将人们引向歧途,还有边际分析、弹性分析,对于经济分析都很有用。
以上列举一些事例只是经济生活中最优化问题的一小部分。类似优化问题，现实生活中不胜枚举。限于篇幅，在此不在列举。最后要提醒读者注意的是，由于计量方法等原因，在实际问题中，函数的自变量有许多是离散的，按照连续函数极值的判定方法，求出的极值点，可能与自变量允许取的离散值不完全吻合，一般情况下，可以取极值点最近旁的允许值范围内的点来代替极值点，而求出极值。另外，本文所用实际问题中求最值简化方法对不连续函数不能用；对定义域上超过一个驻点的函数，也不能用、遇到不能用简化方法的，就必须将各驻点，一阶导数不存在点，及区间端点的函值数全求出，再比较大小，即可得最大(小)值。
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