浅谈线性规划方法的应用
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作者: 卢刚夫
[摘要] 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在帮助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。
[关键词] 线性规划 方法 应用
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，早在1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础，特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划（或非线性规划）问题。从应用范围来看，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，以至国民经济计划的最优化方案分析，它都有用武之地，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门它都可以发挥作用。线性规划方法具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点。其基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标的极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽量少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有十分重要的作用。
一、线性规划模型的结构
企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。
根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。
1.变量:变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xm等。
2.目标函数:将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值、利润极大值）或者极小值（如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等）。
3.约束条件:约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。约束条件的数学表示形式有三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。
在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：
(1)投资问题―确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效最快。
(2)计划安排问题―确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。
(3)任务分配问题―分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。
(4)下料问题―如何下料，使得边角料损失最小。
(5)运输问题―在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。
(6)库存问题―如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。
二、应用线性规划建立数学模型的三步骤
1.明确问题，确定目标，列出约束条件。
2.收集资料，建立模型。
3.模型求解(最优解)，进行优化后分析。
其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。
三、线性规划的应用实例
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg，煤1kg，产值为100元。现钢厂有钢材600kg，煤400kg，试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？
解： 设甲、乙两种产品的产量分别为X1、X2，则总产值是X1 、X2的函数
f(X1，X2)＝120X1＋100X2
资源的多少是约束条件：
由于钢的限制，应满足2X1＋3X2≤600；由于煤的限制，应满足2X1＋X2≤400。
综合上述表达式，得数学模型为
求最大值（目标函数）：f(X1，X2)＝120X1＋100X2
2X1＋3X2≤600
2X1＋X2≤400
X1≥0，X2≥0
Xl，X2为决策变量，解（略）得：Xl≤150件，X2≤100件
fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元
故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。
例2：已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地。东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨。煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
f(X，Y)=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元)
即f(X，Y)=780－0.5x－0.8y
现要求此目标函数的最小值。
x、y应满足：x≥0 ;y≥0
200-x≥0
300-y≥0
x+y≤280
200-x+(300-y)≤360
解（略）得：X=0 ，Y=280
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少。
上述两例是只有两个变量的线性规划（求目标函数最大，最小）问题，其求解方法为图解法，对于含更多变量的线性规划问题，在解决思路、步骤上基本一致，只是在具体求解方法上要用到所谓的“单纯形”方法，在此不再赘述。
四、结束语
线性规划作为运筹学的重要分支，它在辅助企业经营决策、计划优化，对于企业优化配置资源，降低成本，实现效益最大化等方面都具有重要的作用，因此作为企业的经营决策者有必要学习一点线性规划知识，为科学决策，合理规划做必要的知识准备。
参考文献:
[1]管梅谷郑汉影:线性规划[M].山东科学技术出版社， 1983
[2]路正南张怀胜:运筹学基础教程[M].中国科学技术大学出版社，2004
[3]赵凤治:最优化计算方法[M].上海科学技术出版社， 1983
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