二元函数极限常用的求解方法

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　　内容摘要:函数极限的求法是高等数学中的重点、难点,同时也是研究函数最主要的方法之一,本文着重对二元极限的求法和二重极限的存在性进行了讨论。
　　关键词:二元函数;极限求法
　　中图分类号:O177.4 文献标识码:A
　　
　　在高等数学的学习过程中,常会遇到二元函数极限求解的问题, 这对于初学者来说相对比较难,笔者通过自己的学习和经验,对二元函数极限的常用求解方法进行了总结,分析了常用的二元函数极限求解方法,以便更好的帮助初学者理解和掌握二元函数极限的求解方法。
　　一、二元函数的极限的定义
　　二元函数极限在多元函数微积分学中有着重要作用,探讨它的求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。由于二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。
　　二元函数的极限与一元函数的极限非常类似,二元函数的极限同样也是二元函数微积分的基础。但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的。
　　定义1设f为定义在R2二元函数,P0为的D一个聚点,A是一个确定的实数。若对任给正数ε,总存在某正数δ,使得当P∈U0(P0;δ)ID时,都有|f(P)-A|<ε
　　则称f在D上当P→P0时,以A为极限,记作
　　
　　在对于P∈D不致产生误解时,也可简单地写作
　　
　　当P,P0分别用坐标(x,y),(x0,y0)表示时,(1’)也常写作
　　
　　二、用定义验证的方法
　　先求出一个累次极限,判断其累次极限是否为二重极限,然后再用定义验证。
　　例1.,(x2+y2≠0),
　　
　　求
　　解:;仔细观察可得对于任意(x,y)≠(0,0)
　　
　　 ,当|y|<δ,(x,y)≠(0,0)有
　　
　　,即
　　例2 .求
　　
　　解:任给δ>0,取 ,当,
　　即0

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