探析数学史中的数学思想方法与数学教育
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摘 要：数学在人类社会发展中发挥着重要的作用，可以说，数学的发展其实也就是人类科学技术的发展。在此，本文主要从函数、极限以及化归三大方面对数学史中的数学思想方法进行深入探究，并给予了人们深刻的启发：要想培养优秀的数学人才，需要从培养人的思维习惯方面下手。
关键词：数学史;数学思想方法;数学教育
数学史不仅是人类科学技术的发展史，更是人类文明的进步史，数学上的进步在很大程度上体现着人类社会的发展。从最初的欧式几何到微积分、现代数学，再到近代数学，数学在每一阶段的发展都与其所处时代的科学技术、政治、经济以及社会等有着紧密的联系，绝大多数人类科学技术的实现都将数学充分利用了起来，就拿芯片技术来说，如果没有先进的算法，芯片技术还能实现吗？因此，有必要深入探索数学史中的数学思想方法以及数学教育，以确保对数学思想的更好应用。
一、数学史中的数学思想方法
深入分析，数学已经有4000多年的发展史，其内容的广度和深度是很难预测的，尤其是其中的数学思想和方法非常丰富，但是，深入分析发现，经典思想主要有三种：函数思想、极限思想以及化归思想，这三种思想是当前解决数学问题的重要工具。
（一）函数思想方法
函数思想是数学中最为常见且在其他学科中经常使用的概念，其中想要表达的意义已经远远超出当前的数学范畴，在对经典数学进行深入分析时，函数就是其中必不可少的内容。对当前数学教材中的函数知识分析发现，其不仅是初等数学中的主要内容，在高等数学中同样占据着核心地位。函数思想在数学中的融入使得传统的常量数学转变成了变量数学，辩证法在数学中得到了广泛的应用。不仅如此，物理、化学以及均是多个领域都与数学中的函数思想有了紧密的联系，例如：物体冷却现象、树木的生长以及人口增长率等，虽然函数思想在不同内容中的意义不尽相同，但是它们都适用于同一个数学模型中，如下：
这个数学模型中主要表示的是当α0，γ不变时，上述提到的具有不同意义的问题可以转化成关于周期t的函数。
正是上述函数思想的应用，很多相对复杂的问题都能转化成统一的处理方式，可以用数学家F·克莱因的话阐述，教育家可以将数学课上的重要问题利用变量和函数进行解决。
（二）极限思想方法
極限在函数研究中发挥着非常重要的作用，是现代数学中较为常见的一种思想方法，也是当前很多数学概念建立的基础，在分析问题和解决问题上也有着重要意义。极限思想无论在哪一方面的数学研究中都得以体现，正是因为具有这种思想方法，数学才能在各个领域中得到广泛的应用。因此，笔者对极限思想的发展历程进行了深入的分析，从中得知，极限思想的发展主要有四个阶段：第一，萌芽时期，我国伟大哲学家庄子提到的“一日之锤，日取其半，万世不竭”以及国外相关专家构建的穷竭法都能够体现出极限思想;第二，发展阶段，牛顿、布莱尼等创立的微积分，将极限研究成果充分利用了起来，以此解决实际问题，这就使得极限思想得到了一定的发展;第三，争论阶段，实际上，牛顿和布莱尼并没有将极限思想严谨的阐述出来，从而也就产生出现了不能自圆其说的观点，例如：级数的收敛以及发散应用过程中出现的悖论等。而相对严密的极限思想主要是从波莱诺、柯西等学者的工作开始的，经过Weierstrass的进一步发展，从而形成了一门较为完整的“数学分析”学科，正是这一时期，极限思想变得更加严密，这也在一定程度上带动了微积分学的发展。
深入分析，极限思想方法在现代数学中得以更好的发展，主要就是因为极限思想和方法在推动数学进步的过程中，涉及到了物理、化学、地理等多个领域，解决了各个工程领域中的实际问题，从而才能为当今社会背景下科技水平的提升以及经济的发展提供有力支持。
（三）化归思想方法
深入分析，当前数学中所包含的化归思想意义有宏观和微观之分，从宏观方面来看，其主要体现的是数学家在思考问题时与一般科学家不同的见解，这是后续分析问题、解决问题并形成数学构想的重要条件;从微观方面来看，这一方面的意义主要是数学家在解决数学问题的过程中发现问题、分析问题，并将其与已经解决的问题结合分析的过程。深入分析数学史上有名的化归思想，1944年发表的《怎样解题表》是最为典型的化归思想著作，其将化归思想在解决问题上的精华阐述了出来。在这张表中，G·波利亚还将数学解题过程概括成了发现问题、分析问题、解决问题以及回顾问题的过程，而四个思维阶段的主要目的就是锻炼人在数学内容上的理解、转换、具体实施以及反思的能力，而且，波利亚还设置了一系列的问题，启发人们在这四个思维框架中进行解题。上述的这种思维过程其实就是变幻问题，并将其转化为简单内容的过程，将复杂的问题不断化归，最终归结成一个较为熟悉的简单问题，模式如图1：
以化归思想来解决实际性的问题的方法也就是化归法，这种方法在中学数学中非常常见，几何代数中的数形结合、解方程中的换元法、待定系数法等都将化归思想充分利用了起来，以此来简化题目，为后续解题提供便利。
各个分支中问题的解决也经常用到化归法，例如：数学分析中的换元法以及三角函数的万能替换法等，其与中学数学中相关问题的解题方式是相同的，如：一般情况下，无限个数的求和是不能得到结果的，而如果将无限个数的求和转化为有限个数的极限求和就可以得出最终结果，这样做也在一定程度上上解决了数项级数的敛散性问题，为相关问题的解决明确了具体的方法。
总之，数学中的化归思想方法不仅在相关数学领域的问题解决过程中发挥着重要意义，也广泛应用于物理、社会等领域中。切实做好这一思想方法的培养工作，对于提升学生的数学思想和问题解决能力非常重要，尤其可以帮助刚步入大学的学生尽快从中学思维模式中转化过来，形成良好的思维模式。
二、数学史中的数学思想方法教育
在数学问题上，无论是数学家发现问题的过程还是解答问题的过程，都可以充分体现出其数学思维方式。无论是数学史上教育的成功还是失败，其中都揭示了一个非常重要的规律，那就是实际教学过程中要将知识的内在联系体现出来，发现问题中的思维规律，从而为学生数学思维能力的培养提供保障。
从根本上来看，数学史对于数学思想方法的传播是一个层层递进的过程，贯穿于整个数学学习过程中，其中，概念的形成、推论以及相关习题的推导都能够将数学思想体现出来。此时，教师就可以抓住这一契机，引导学生理解相关数学概念的同时，形成良好的数学思维习惯，及时发现问题、解决问题，形成一种辩证思维。
数学史中主要体现的是数学家思想方法的故事，在实际解题过程中都能直接体现出相关概念、定理的应用，教师应用数学思想方法开展数学工作，也会让学生在潜移默化中利用数学，从而使学生获得能够解决日常生活实际问题的思想方法。
数学中的方法和概念是数学思想的深入体现，教师在教学中完整的表述相关定义，可以引发学生的思考，从而有利于培养其综合思维能力，促进学生的全面发展。这也是当前数学史对实践教育的重要意义。
三、结束语
总而言之，数学思想方法在数学以及其他各个领域中都得到了较为广泛的应用，其中，函数、极限以及化归三大思想方法是较为典型的数学思想方法，其能够很好的解决各个工程领域的实际问题。而且，通过深入分析发现，数学史中的数学思想方法教育还能实现对学生数学思维能力的培养，引导学生及时发现问题、解决问题，形成辩证性的思维，从而提升综合思维能力，在实践教育中具有重要意义。
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（作者单位：德州学院职业教育学院，山东 德州 253000）
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