用离散型种群竞争模型分析传染病的发展
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摘要：通过将人群分为易感染者和已感染者作为竞争模型中的两个群体，建立离散型竞争模型，利用二维竞争系统的渐进稳定性，讨论两群体在竞争中的发展趋势。
关键词：群体;竞争模型;渐进稳定性
中图分类号：G18 文献标识码：A
文章编号：1009-3044（2019）23-0193-02
开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
Analysis of the Development of Infectious Diseases by Discrete Population Competition Model
JIANG Chun-ling
（South China Institute of Software Engineering，Guangzhou University， Guangzhou 510990， China）
Abstract： By dividing the population into two groups： the susceptible group and the infected group， the discrete competition model is established，and the development trend of the two groups in competition is discussed by using the asymptotic stability of the two-dimensional competition system.
Key words： group; competitive system; asymptotic stability
关于生物种群的竞争模型以及种群的渐进稳定性的研究由来已久，同时关于传染病模型的研究也很多，建立传染病的数学模型，分析传染病的传播特点，感染人数的发展规律，寻找制止传染病蔓延的方法，一直是人类关注的课题之一，但目前为止大多是对连续型模型的研究，用微分方程来描述，如果从生物群体的特点以及传染病的原理来看，离散型更切合实际，更能详尽的描述种群间的动态变化关系，但是由于离散性模型的动力学性态很复杂，不容易得到全局渐进稳定性，所以主要讨论种群在特定的区域内的渐近稳定性问题。
1 模型假设和参数说明
（1）假设在疾病传播期内，所考察的对象只有易感染者和已感染者两类，二者参与种群竞争;
（2）假设已感染者被治愈后，变成易感染者，同样也会被感染;
（3）[Mn]，[Nn]分表代表易感人群和已感染人群的即时数量;
（4）[M]，[N]分别代表两个易感人群和已感染人群的平衡点，设其饱和量值均为1;
（5）[a1]，[a2]分表代表易感人群和已感染人群的相对增长率;
（6）[s，t]分别为易感人群和已感染人群两个种群的相互竞争系数，易感染者会被感染，已感染者也会被治愈。
2 模型的建立和求解
对于传染病模型来说，目前大多是对连续型模型的研究，文献[2]研究了连续型竞争系统的解的稳定性问题，但是从实际问题的特点出发，离散型模型更加合适，在文献[1]和[3]研究离散型二维竞争系统平衡点的渐进稳定性的基础上，综合考虑传染病模型的特点，建立模型，具体如下：
[?Mn=a1（1-Mn）Mn-sNnMn?Nn=a21-NnNn-tMnNn] （1）
设两个群体趋于平衡状态[（M]，[N）]，即
[limn→∞Mn=M]，[ limn→∞Nn=N]
對（1）两边同时取极限得到代数方程组：
[a1M-a1M2-sMN=0a2N-a2N2-tMN=0] （2）
由方程组（2）可以容易解出四个平衡点[O0，0，P1，0，Q0，1，R（A，B）]，其中
[A=a1a2-sa2a1a2-st， B=a1a2-ta1a1a2-st]
当[a1=s]时，即易感人群的相对增长率等于已感染人群对于易感人群的竞争系数时，此时A=0，所以[R（A，B）]与[Q0，1]重合;当[a2=t]时，即已感染人群的相对增长率等于易感人群对于已感染人群的竞争系数时，此时B=0，[ R（A，B）]与[P1，0]重合。
3 模型的分析
平衡点[O0，0]只是数学理论中的结果，在讨论的现实问题中没有实际意义，因为在竞争系统中初始值[M0，N0]不全为0，即易感人群和已感染人群数量都是大于0的，所以这两个群体不会同时消亡。
在文献[2]中的推论1中，讨论了两个群体永不和谐的条件，即某个群体在竞争中消亡的条件：
（1）若满足[a2<t，a1≤1，a2≤1]，即已感染人群的相对增长率小于易感人群对于已感染人群的竞争系数，且易感人群和已感染人群的相对增长率都小于等于1时，则平衡点[P1，0]对于区域[{x，y|a2t≤x≤1，0<y≤a1（1-x）s}]和[{x，y|A≤x≤a2t，a2-txa2≤y≤a1（1-x）s}]是渐进稳定的;或者满足[a1>s，a2=t]，即易感人群的相对增长率大于已感染人群对于易感人群的竞争系数，同时已感染人群的相对增长率等于易感人群对于已感染人群的竞争系数时，平衡点[P1，0]对于区域[{x，y|0<x≤1，a2-txa2≤y≤a1（1-x）s}]也是渐进稳定的。 在动态系统中，易感人群的相对增长率比较大，随着时间发展，易感人群的人数逐渐增加，感染人数会逐渐减小到零。对于本文讨论的实际问题中，平衡点[P1，0]意味着已感染人群消亡时，易感染人群达到了平衡量1，所有的人都痊愈了。
（2）若满足[a1<s，a1≤1，a2≤1]， 即易感染人群的相对增长率小于已感染人群对于易感人群的竞争系数时，且易感人群和已感染人群的相对增长率都小于等于1时，则平衡点[Q0，1]对于区域[{x，y|a1s≤y≤1，0<x≤a2（1-y）t}]和[{x，y|B≤y≤a1s，a1-sya1≤x≤a2（1-y）t}]是渐进稳定的;或者满足[a2>t，a1=s]，即已感染人群的相对增长率大于易感人群对于已感染人群的竞争系数，同时易感人群的相对增长率等于已感染人群对于易感人群的竞争系数时，平衡点[Q0，1]对于区域[{x，y|0<y≤1，a1-sya1≤x≤a2（1-y）t}]也是渐进稳定的.此时，已感染人群的增长速度过快，在动态系统中就会加快传染病的传播，这种情况下必然会造成已感染人群数量的迅速增长，最终导致传染病大爆发.平衡点[Q0，1]意味着易感人群消亡，已感染人群达到了平衡量1，所有的人全部被感染了。
（3）对于平衡点[RA，B]，在文献[3]中，有定理2知，若满足[a1<s，a2<t]或者[a1>s，a2>t]，且满足[（1+a1）2≤4Aa1，（1+a2）2≤4Ba2]，则平衡点[RA，B]对区域[{x，y|0<x≤A，0<y≤B}]全局渐近稳定;有定理4知，若满足条件[a1>s，a2>t]，且同时满足[Ba1<1，a2≤1，ABst+a12≤Bsa1]，则平衡点[RA，B]对区域[{x，y|0<x≤a1-sya1，B≤y≤1}]全局渐近稳定;若满足条件[a1>s，a2>t]，且同时满足[Aa1<1，a1≤1，ABst+a22≤Ata2]，则平衡点[RA，B]对区域[{x，y|A≤x≤1，0<y<a2-txa2}]全局渐近稳定，此时，传染病的发展处于稳定阶段，需要采取更积极的措施，打破这种稳定，使其向平衡点[P1，0]转化。
4 结論
文仅通过建立模型，得出了传染病的发展规律，根据上面的分析，所以在传染病的控制中，一是需要提高卫生水平和医疗水平，即降低已感染人群的相对增长率，增强易感人群的竞争系数;二是增强群体的免疫力，提高易感人群的相对增长率.在实际案例中要通过考察实际意义下模型中各参数间的关系，从而给出控制传染病的相关对策。
参考文献：
[1]周志轩.离散型二维竞争系统中某群体消亡的条件[J].西南师范大学学报，2018（11）.
[2]杨军.用种群竞争模型分析旅游危机中的疫情及其控制对策[J].燕山大学学报，2006，30（1）.
[3]杨逢建.离散型二维竞争系统的渐进稳定性[J].生物数学学报，2008，23（1）：85-90.
[4]韩丽涛.两种群相互竞争SIRS传染病模型的稳定性[J].生物数学学报，2003，18（1）：21-26.
[5]张忠文，多种群竞争最优捕捞策略模型[J].甘肃科学学报，2015，27（1）：5-7.
[6]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.
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