叶片轴截面曲线拟合方法

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　　摘  要：涡轮叶片作为飞机发动机的关键零部件，涡轮叶片和发动机高温区的零部件寿命往往是制约现代高性能航空器寿命周转的决定性因素。航空发动机零部件修复可谓是高投入、高附加值、高层次政策下的高技术产业，是一项军民通用技术。其巨大的经济利益吸引了许多国家和地区纷纷涉足此领域。逆向工程是一种高效率、低成本的新型设计方式。该文基于逆向工程技术，通过对点云数据进行测量，并对点云数据进行预处理，进而将曲面重构等技术对涡轮叶片的轴截面特性进行分析以及叶型进行拟合，为飞机发动机叶片的逆向重构提供了前提。这为航空发动机涡轮叶片损耗的有效降低和高效维修奠定了基础，具有一定的理论价值和实际意义。
　　关键词：叶片轴截面特性  叶片修复  逆
　　中图分类号：TP391                文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）12（b）-0001-05
　　1  绪论
　　1.1 叶片修复的发展现状和经济意义以及该课题的意义和目的
　　1.1.1 航空发动机叶片修复的发展现状和经济意义
　　航空发动机叶片，特别是涡轮叶片的工作环境非常恶劣，要承受高温、高压燃气的严重腐蚀，还要承受发动机高速转动所带来的叶片自身的离心力、气动力、热应力以及振动负荷;当发动机工况不断变化时，叶片还要经受冷热疲劳。因此，涡轮叶片是发动机各部件中受力和受热最为严重的零件之一，也经常出现一些失效的现象。失效原因一般包括断裂、疲劳裂纹、伸长或缩短量超标、外物打伤程度超过了修理允许量、叶冠变形、使用过热或超温、腐蚀、涂层破坏等。由于涡轮叶片是航空发动机内主要的损伤叶片，也是价格最为昂贵的部件。而且通过国内各大航空公司（中国国际航空公司、中国南方航空公司等）以及发动机维修厂（AMECO飞机维修公司、厦门太古飞机维修公司等）的调研而知，国内对涡轮叶片的维修技术都只停留在非常低级的水平，甚至有些连涡轮叶片的清洗工作都没有授权或者做不了。
　　最先于20世纪70年代中期，美国惠普公司就开始研究发动机涡轮叶片的修理技术，并取得了显著的成效，推向了市场。之后，英国、法国等欧洲国家也共同制定了COST50计划，进行了大量的基础性研究，并对罗罗公司生产的RB211发动机和其他涡轮部件的修复技术进行研究。这些年来，随着材料科学的研究、质控技术以及零件生产制造工艺的迅速发展，发动机涡轮部件维修也得到了很大的发展。虽然涡轮叶片的修复价格高昂，但是她可以显著提高叶片的使用寿命，从而使叶片的每小时使用费显著降低。比如，预防性维修可以在涡轮叶片服役3500h之后进行，则维修费用为叶片成本的5%，叶片的维修后还可以服役3500h，则分摊到叶片每个工作小时的成本仅为新叶片价格的0.015%;如果对服役3500h后的叶片进行大修，并对其进行热等静压处理，此修理成本为新叶片价格的20%。一般认为若叶片修复的成本小于新叶片价格的70%则修復工作是经济可行的[1]。
　　1.1.2 该课题的意义和目的
　　该课题基于逆向工程技术，通过对点云数据进行测量，并对点云数据进行预处理，进而将曲面重构等技术对涡轮叶片的轴截面特性进行分析以及叶型进行拟合，以实现飞机发动机叶片的逆向重构，为飞机发动机叶片的高效修复奠定了基础，具有一定的经济意义和实际价值。
　　1.2 论文主要研究的内容
　　该文所需讨论研究的内容主要是对叶片轴截面的曲线进行拟合和分析。
　　在叶片设计时，虽然有很多可以解决强度、刚度和振动问题的先进设计方法，但是叶片的烧蚀和损伤在发动机中仍然很常见，为了解决叶片损坏的故障就必须在计算它的动态静态应力和应变场分布振动特性的同时深入了解叶片的动态静态特性。为了计算叶片的力学性能，首先必须了解叶片几何特性，而叶片的几何特性指的是与叶片形状和尺寸有关的数据，如叶片的截面面积、质心坐标、叶片的最大厚度、叶片的弦长等，而曲线的拟合是计算以上参数的必备前提。
　　2  叶片点云的输入与处理
　　点云模型的获取是一切研究的开端，也是逆向工程的开端。该章主要会详细介绍点云从获取、初步处理、数据拟合等方面的具体过程，以及相关的概念，为接下来的轴截面几何特性奠定基础。
　　2.1 点云的输入
　　先提取出叶片坐标点数据，对于复杂曲面数据的获取方法初步计划为才用数字化测量，可分为两大类：接触式测量和非接触式测量[5]。
　　其主要原理和特点如下。
　　2.1.1 触发式数据测量的原理
　　当采样探头首先接触到样品表面时，探头尖端因为产生力发生细微形变，从而使采样开关被触发，这也就可以让探头记录下当前的坐标，并通过每一个点逐次采样移动来采集样品表面的坐标数据。这个方式具有非常高的精确度，但是效率低下，用来测算软性材料通常具有巨大误差，并且不宜测量凹型曲面，该方法常用于测量回转体的表面数据。
　　2.1.2 连续式数据测量的原理
　　使用模拟开关探头来进行连续数据的测量，其实是利用悬挂在三维弹簧系统中的探针位置偏移所产生的电感或者电容的变化，与此同时对机电模拟量进行转换。当探针以切向速度沿样品表面移动时，它就会发出与坐标位置相关偏移量相对应的电流信号或者电压信号。由于采集过程是连续的，所以这个方法的速度比点出探针要快很多，所以会有比较高的采样精度，可以用来进行大量的数据采集工作。另外，因为接触压力很小，小直径探头可以扫描模型的细小零件或者软材料模型。
　　该文所研究的点云大概提取到了137万个点，之后便可以对收集到的叶片点云利用Solidwork或者Imageware进行初步的还原并且可初步观察一下叶片的形状和与坐标轴的位置关系。 　　2.2 点云的降噪（误差点的处理）
　　点云取样时产生的误差点（即指噪点，以下称作误差点）关系到叶片截面几何特性计算的精度，也直接影响在截面几何特性修复过程之后的维修工作，决定了修复之后的飞机发动机叶片的空气动力学性能。该章将对获取点云时产生的误差以及误差对截面几何特性计算时的影响进行分析。
　　2.2.1 误差点产生的主要形式
　　（1）采集数据发生缺失或者数据的密度不符合要求。利用这种不完整的数据来进行拟合会出现较大的误差，很难达到所需测量精度的要求。
　　（2）当被测物体是大工件或透明件时，通常会发生同一个表面采集的数据结果得到的是多层复合点云。
　　（3）单次的数据采集不准确而对整体的测量精度产生影响。
　　（4）由于误差的过量积累而导致错误的测量结果。
　　（5）点云在几何分析上的错误拼接而导致测量误差出现。
　　（6）测量数据中的噪点过多。
　　2.2.2 误差点对叶片截面几何特性分析的影响
　　误差点会导致截面曲线拟合上的出错，以至于无法完成平滑曲线的拟合。在面积的插值算法上也会导致输出面积结果错误。此外，在定量分析中，其分析结果一般不是直接通过一步测算就可以得到的，而是在经过多次的测量后通过计算得到的。每次的测量都存在一定的误差，这些误差均会带入分析结果中并产生影响，这些误差是由传递性的，这将导致点云失真而导致所有计算的几何参数失去可信度。所以，在点云处理之前需要进行消除误差点的预处理。
　　2.2.3 误差点的识别和去除
　　在所获取的点云中存在的“跳点“以及”坏点“对点云数据使用MATLAB进行叶片轴截面几何特性运算的结果影响相当大。如果不把这些误差点去除将会使计算结果还有误差分析的结果的可信度大打折扣。一般的，误差点的判断方法有以下几个。
　　（1）直接观察法。通过图形终端将偏离点云图像较大的點或者明显的孤立点直接去除。此方法比较适合作点云数据的初步检查，可以从点云点集中直接筛选出一些有着明显误差的异常点。
　　（2）利用曲线拟合检查的方法。通过提取出分析的截面点云的起点和终点而得到的曲线采用最小二乘法来进行拟合，曲线拟合所需的阶次可根据飞机发动机叶片的具体形状来选取（一般情况选取3～4阶）然后分别计算中间数据点到拟合曲线的欧氏距离，若点P的∣e∣≥[ε]，其中[ε]为给定的允差，则认定点P是坏点，应给去除。
　　（3）弦高差法。连接要检查的前后两个点，计算P到弦的距离，若点P的∣e∣≥[ε]，其中[ε]为给定的允差，则认为P是坏点，应该去除。这种方法适合用于点云均衡分布但是分布比较密集的情况，特别是在点云曲率明显较大的情况。
　　2.3 点云的初步处理
　　在点云数据获取之后，将点云数据导入Imageware可初步观察到点云姿态。之后在Imageware中利用斜线的梯度化现象以地面为基准摆正工件的榫头（即摆正叶片点云）。摆正时要从正视图、左视图、右视图分别调整，最终得出一个摆放工整的工件点云。
　　由于后续工作都要在正位点云的状态下进行的，所以正位之后的点云的坐标尤其重要。在微调摆正之后利用Imageware导出正位点云坐标，并另存为Blade.txt格式文本文档等待后续处理。
　　在Imageware环境下观察叶片点云的具体形状，并确定整个叶片点云中的叶片部分还有底座榫头部分。通过Imageware对点云边界点的分析功能可知，该叶片样品在Z轴坐标15.00以上的部分为叶片部分，其以下的部分为榫头部分。我们主要的研究任务是以叶片的轴截面的几何特性作为研究对象，所以我们以Z轴坐标15.00及其以上部分作为主要的研究对象来进行分组以及处理。
　　之后我们利用SPSS数学统计软件的筛选数据的功能对点云数据进行筛选。SPSS有着强大的数据管理功能，其中包括数据的排序、筛选和转置等，其中筛选功能非常强大，可以根据用户的需要进行自定义筛选，也可以根据各类函数、条件进行数据筛选并且进行删除，转存等工序，而且还可以自动输出数据处理日志以便进行数据操作分析。
　　2.4 叶片轴截面曲线的拟合
　　2.4.1 数据点的分组
　　将之前用SPSS提取出来的一个点云薄片除去Z轴坐标之后近似看作一个平面上的点，这样就可以对该提取点云进行拟合处理。实际上，叶片的截面曲线是由两条型线组成的，分别是上型线和下型线，这个曲线结果通常是由流场分析得出的。
　　因此，在进行曲线拟合之前必须要把之前得到的数据对分成两组，也就是一组上型线点和一组下型线点。具体的实施方式如下所述。
　　（1）利用SPSS筛选出所截取的数据点中，X坐标的两个极点，即最大和最小的两个点，此两点分别记为Dmax和Dmin。
　　（2）再利用点到距离的算法筛选出到Dmax和Dmin的连线的距离最远的点Dfar。
　　（3）根据坐标分别推算出Dmax和Dfar的连线的直线方程以及Dmin和Dfar的连线的直线方程。
　　（4）对（1）所筛选出来的点云的其余点与（3）中所联立出的两条直线方程分别进行比较，这两条线上方的点属于叶片剖面轮廓线的上轮廓即上型线，而此两线下方的点属于叶片剖面轮廓线的下轮廓即下型线。Dfar是位于截面轮廓上型线的点，Dmax和Dmin既是上型线的点又是下型线的点，它们是叶片截面上型线和下型线的分界点。
　　如此便可将提取出来的数据点分为两组，以便接下来对整个叶片截面曲线进行拟合研究。
　　2.4.2 叶片截面曲线的拟合
　　对于飞机发动机叶片截面曲线拟合一般才用的方法有两种，分别如下。
　　（1）最小二乘多项式法。
　　当在研究两个自变量（x，y）之间的关系时，我们通常能够得到一系列数据对（x1，y1，x2，y2...xn，yn）;在把上述数据对在X-Y直角坐标系里绘制时，如果这些数据点在一条直线附近时，就可以得出线性方程式，如式（1）。 　　（1）
　　其中：a0、a1是任意实数。
　　为了建立这个线性方程，我们必须确定a0和a1，那么我们就可以应用“最小二乘法原理”，把实测值Yi和使用方程式（1）的计算值Yj=a0+a1X的离差（Yi-Yj）的平方和小作为“优化准则”。
　　令：φ=                                （2）
　　把方程式（1）代入方程式（2）中得：
　　φ=                                        （3）
　　在的值為最小值时，可以用上述函数式（1-003）计算其对a0、a1的偏导数，使这两个偏导数的数值为0。
　　（4）
　　 （5）
　　亦即：                                        （6）
　　 （7）
　　如此我们就得到了两个关于a0、a1两个方程组，通过对这两个方程组求解，我们可以得到以下结果：
　　 （8）
　　（9）
　　此时，将a0、a1代进式（1）式子里去，那么式（1）便为回归的元线性方程，也就是数学模型。
　　在回归过程中，其回归本身的相关性也不会精准地通过每个回归数据点（x1，y1，x2，y2...，xm，ym），为了确定其关联性的质量，可以用相关系数“R”、统计量“F”以及剩余的标准差“S”进行判断;“R”的值越接近1越佳;“F”的绝对值越大越适合;“S”越逼近0越相关。
　　（10）
　　在方程式（1）中，m是样本本身的体量即容量的大小，也就是实验进行的次数，而Xi、Yi是任意一组实验数据对应的X、Y的值[6]。
　　（2）正交多项式配合回归曲线法。
　　设存在一组观察值（xt，yt）t=1，2，…，n，那么如果该观察值存在非线性关系，那么其多项式回归方程为：
　　 （11）
　　为了让离回归平方和，也就是SSQ=∑（y-）2最小，可以从最小二乘法原理推导出下面的正规方程组：
　　 （12）
　　解上述方程组可得：b0，b1，b2，…，bp。
　　若令x1=x，x2=x2，…，xp=xp，或φ1（x）=x，φ2（x）=x2，…，φp（x）=xp，则（11）可改写成 ：
　　 （13）
　　（14）
　　如此，将xi或Φi（x）视为一个新变量，（13）或（14）方程式就为一个元数为p的多元线性回归方程，每一个偏回归系数di仍然可以根据下列正规方程组求得相应的解。
　　（15）
　　其中，（i，j=1，2，…，p）。
　　
　　或
　　同样，对于多元多项式回归，也可以化为多元线性回归来分析，例如，对于多变量的任意多项式回归方程：
　　 （16）
　　只要令x1=z1，x2=z2，x3=z12，x4=z1z2，x5=z22…可化为多元线性回归方程：
　　 （17）
　　其偏回归系数的计算，回归方程的显著性检验，各偏回归平方和的计算及显著性检验，都与多元线性回归分析相似。
　　一般来讲对于飞机发动机叶片截面的拟合，一般才用的是最小二乘多项式法拟合，也有才用正交多项式配合回归发动机性能曲线拟合以减少计算工作量。因为计算和测量所存在的误差是不可避免的，我们获得的数据也不可能准确地反映真实的结果。因此，用上述方法拟合实验结果曲线或者是流场计算结果是合理的。所以最小二乘法是相对较好的处理选择，最小二乘法准则可以使测量值与其拟合值之差的加权平方和最小，如此可以尽量消除误差的影响。拟合的曲线是一条尽可能平滑地连接每个测量点的曲线。假定拟合曲线必需准确经过型值点，则最小二乘多项式是有点艰难的。因为只有当拟合的阶数很高时，我们所拟合出的曲线才能穿过全部的类型值点，但该拟合曲线在相邻的类型值点之间会剧烈波动，所以由此得到的拟合曲线也不合理。因此，在需要精确传递类型值点的曲线拟合中，最常用的是三次样条函数。三次样条函数是一种分段代数多项式，它简单易拟合，拟合能力强。它可以通过平面上任意数量的类型点，保证曲线的第一导数和第二导数的连续性。所以对于某些曲线，拟合三次插值的效果可能优于三次样条插值 。
　　在曲线拟合中，MATLAB给出了多种拟合措施，以便于积分计算，同时并考虑了曲线拟合的精度，所以我们使用傅里叶级数极限逼近曲线拟合。叶片截面点云分布非常复杂，所以我们利用傅立叶级数逼近式：
　　f（t）=a0+（b1sinωt+a1cosωt）+（b2sin2ωt+a2cos2ωt）+…+（bksinkωt+akcoskωt）                                                         （18）
　　作为叶片截面曲线拟合的依据。多次试验并且取误差最小的拟合方程，最后选择了有限项傅里叶级数作为拟合的方法，并且根据这种拟合方法编写了MATLAB程序，利用cftool工具箱对截面轮廓的上型线进行了拟合（如图2-11）。
　　由于下型线近似为一条直线，所以我们用两条直线来进行拟合，上下型线共同构成封闭的截面曲线。
　　采用上述的方法，我们就可以对之前分组的叶片截面曲线进行拟合（如图2-12）。
　　参考文献
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